Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение. Запишем $x^2+y^2+2(x-y)+2=0$ как $x^2+2x+1+y^2-2y+1=0$, то есть $$(x+1)^2+(y-1)^2=0.$$ Это получилось выделением полных квадратов по $x$ и по $y$ — стандартный приём для уравнений с суммой квадратов переменных.

Шаг 2. Анализируем сумму квадратов. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю (так как квадрат числа всегда неотрицателен). Значит, $$x+1=0,\quad y-1=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\; y=1.$$ При любых других значениях $x,y$ левая часть строго больше нуля, поэтому других решений первое уравнение не даёт — оно фиксирует единственную точку.

Шаг 3. Подставляем найденные $x,y$ во второе уравнение. Второе уравнение $a^2+ax+ay-4=0$ должно выполняться при этих же $x,y$, чтобы система была совместна. Подставляем $x=-1,\ y=1$: $$a^2+a(-1)+a(1)-4=0 \;\Rightarrow\; a^2-a+a-4=0 \;\Rightarrow\; a^2-4=0.$$ Слагаемые $-a$ и $a$ взаимно уничтожаются, поэтому условие зависит только от $a^2$.

Шаг 4. Решаем полученное уравнение относительно $a$. $$a^2=4 \;\Rightarrow\; a=\pm2.$$

Шаг 5. Формулируем ответ. Только при $a=2$ и $a=-2$ точка $(-1,1)$, которая единственно возможна из первого уравнения, удовлетворяет и второму уравнению — система совместна. При всех прочих $a$ второе уравнение не выполняется для этой точки, а иных решений первое уравнение не допускает, значит система решений не имеет.