Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение $y=\sqrt{7+6x-x^2}+3$ переписываем как $y-3=\sqrt{16-(x-3)^2}$. Возводя в квадрат с условием $y\ge3$, получаем $(x-3)^2+(y-3)^2=16,\ y\ge3$ — это верхняя половина окружности $F$ с центром $O(3;3)$ и радиусом 4 (полуокружность нужна, чтобы избежать лишних решений от возведения в квадрат).

Аналогично второе уравнение $y=a+\sqrt{16-(a^2+2ax-x^2)}$ даёт $(x-a)^2+(y-a)^2=16,\ y\ge a$ — верхнюю полуокружность $F_a$ с центром $O_a(a;a)$ того же радиуса 4. Центр всегда лежит на прямой $y=x$.

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полуокружности $F$ и $F_a$ пересекаются ровно в одной точке.

При $a=3$ окружности совпадают — решений бесконечно много, не подходит.

При $a>3$ центр $O_a$ поднимается вдоль прямой $y=x$ выше центра $O$. Полуокружности касаются одной точкой, пока диаметр (граница) полуокружности $F_a$ ещё достаёт до дуги $F$; предельное положение — $O_a(7;7)$, то есть $a=7$. При $a>7$ пересечений нет. Значит подходят $3<a\le7$.

При $a<3$ полуокружность $F_a$ получается сдвигом $F$ на вектор $(b,b)$, $b=a-3<0$. По симметрии картины относительно точки $a=3$ (сдвиг на $-b$ даёт зеркальную ситуацию для $a>3$), множество подходящих значений слева симметрично множеству $(3;7]$ относительно $a=3$, то есть это $[-1;3)$.

Объединяя оба случая, получаем ответ.