Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Первое уравнение содержит $\sqrt{x|x|}$, поэтому нужно $x|x|\ge 0$, что верно только при $x\ge0$. При этом $x|x|=x^2$, а $\sqrt{x^2}=x$ (так как $x\ge0$). Значит первое уравнение превращается в $(3x+|y|-3)(x+3|y|-9)=0$ с условием $x\ge0$.

2. Второе уравнение $(x-a)^2+y^2=25$ задаёт окружность радиуса $5$ с центром $(a,0)$, симметричную относительно оси $Ox$. Первое уравнение зависит только от $|y|$, значит оно тоже симметрично относительно $Ox$. Поэтому если $(x_0,y_0)$ — решение, то $(x_0,-y_0)$ тоже решение. Единственное решение возможно только когда $y_0=0$.

3. При $y=0$: $(3x-3)(x-9)=0\Rightarrow x=1$ или $x=9$ (оба удовлетворяют $x\ge0$).

4. Подставляя в уравнение окружности $y=0$: $(x-a)^2=25\Rightarrow x=a\pm5$.

• Для $x=1$: $a=6$ или $a=-4$.
• Для $x=9$: $a=4$ или $a=14$.

5. Теперь нужно проверить, что при найденных $a$ система действительно имеет ровно одно решение, а не больше (ведь мы лишь нашли необходимое условие $y=0$).

6. Первое уравнение при $x\ge0$ равносильно совокупности $|y|=3-3x,\ 0\le x\le1$ и $|y|=3-\dfrac{x}{3},\ 0\le x\le9$, что задаёт замкнутую ломаную (два «треугольника», соединённых в точках $(1,0)$ и $(9,0)$, с вершинами $(0,\pm3)$).

7. Строим окружность радиуса $5$ с центром $(a,0)$ для каждого из найденных $a$ и смотрим, сколько точек ломаной она захватывает. При $a=-4,4,6$ окружность пересекает ломаную ещё в двух точках с $y\ne0$, поэтому получается по три решения. При $a=14$ вся оставшаяся часть ломаной лежит вне окружности (расстояние от центра $(14,0)$ до вершин ломаной больше $5$), поэтому единственная точка пересечения — $(9,0)$.

Таким образом, единственное решение получается только при $a=14$.