Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение содержит модуль $x$. При $x\ge 0$ оно превращается в $(x-5)^2+(y-4)^2=4$ — окружность $\omega_1$ с центром $C_1(5;4)$ и радиусом $2$. При $x<0$ получаем $(x+5)^2+(y-4)^2=4$ — окружность $\omega_2$ с центром $C_2(-5;4)$ радиусом $2$. Второе уравнение при $a>0$ задаёт окружность $\omega$ с центром $C(2;0)$ и радиусом $a$.

Задача сводится к тому, чтобы найти $a$, при которых $\omega$ имеет ровно одну общую точку с объединением $\omega_1\cup\omega_2$.

Расстояние от $C$ до центров: $CC_1=\sqrt{(5-2)^2+4^2}=5$, $CC_2=\sqrt{(-5-2)^2+4^2}=\sqrt{65}$.

Для окружности радиуса $2$ с центром на расстоянии $d$ от $C$ касание происходит при $a=d-2$ (внутреннее) или $a=d+2$ (внешнее), а пересечение по двум точкам — при $d-2<a<d+2$.

Для $\omega_1$: $a=5-2=3$ или $a=5+2=7$, пересечение при $3<a<7$. Для $\omega_2$: $a=\sqrt{65}-2$ или $a=\sqrt{65}+2$, пересечение при $\sqrt{65}-2<a<\sqrt{65}+2$.

Поскольку $3<\sqrt{65}-2<7<\sqrt{65}+2$, единственная общая точка получается только тогда, когда $\omega$ касается одной окружности, не пересекая другую. Это выполняется при $a=3$ (касание с $\omega_1$, а $\omega_2$ далеко, так как $3<\sqrt{65}-2$) и при $a=\sqrt{65}+2$ (касание с $\omega_2$, а $\omega_1$ уже пересечена бы не была, так как $7<\sqrt{65}+2$, но при этом $a>7$ значит с $\omega_1$ нет общих точек).

Значения $a=7$ и $a=\sqrt{65}-2$ не подходят, так как попадают в диапазон пересечения другой окружности (две точки с одной и касание с другой даёт более одной общей точки).