Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Шаг 1. Преобразование системы

Возьмём первое уравнение. Поскольку обе части неотрицательны под корнями, приравниваем подкоренные выражения: $$16 - y^2 = 16 - a^2 x^2 \implies y^2 = a^2 x^2 \implies y = \pm ax$$

При этом требуется $16 - y^2 \geq 0$, то есть $-4 \leq y \leq 4$.

Второе уравнение преобразуем, выделяя полные квадраты: $$x^2 - 6x + y^2 - 4y = 0 \implies (x-3)^2 + (y-2)^2 = 13$$

Это окружность с центром $(3; 2)$ и радиусом $\sqrt{13}$.

Шаг 2. Геометрическая интерпретация

Нужно найти пересечения:

• двух прямых $y = ax$ и $y = -ax$ (пучок через начало координат),
• окружности $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 13$,
• полосы $-4 \leq y \leq 4$.

Дуга окружности в полосе — это геометрическое место возможных точек пересечения.

Шаг 3. Анализ случаев для ровно двух решений

Одно решение всегда — точка $(0; 0)$ (начало координат лежит на обеих прямых).

Второе решение возникает в трёх ситуациях:

1. Обе прямые совпадают ($a = 0$): тогда $y = 0$. Окружность пересекает ось $x$ в точках, где $(x-3)^2 + 4 = 13$, откуда $(x-3)^2 = 9$, то есть $x = 0$ или $x = 6$. Получаем две точки: $(0; 0)$ и $(6; 0)$ ✓

2. Одна из прямых касается окружности: радиус в точку касания перпендикулярен прямой. Центр $(3; 2)$ лежит на прямой $y = \frac{2}{3}x$. Касательная через начало координат перпендикулярна этому радиусу: $$k \cdot \frac{2}{3} = -1 \implies k = -\frac{3}{2}$$

Так что $y = -\frac{3}{2}x$ — касательная. Но вторая прямая $y = \frac{3}{2}x$ при $a = \frac{3}{2}$ не пересекает дугу (кроме начала координат), поэтому эти значения исключаются.

3. Ровно одна из двух прямых пересекает дугу в точке, не равной началу координат: это происходит при $a \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$, а также при $a = 0$.