Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Преобразуем неравенство. Запишем $x^2+(2-5a)x+4a^2-2a\le 0$ как квадратное относительно $x$ с параметром $a$. Подберём разложение на множители вида $(x-a)(x-(4a-2))$: раскрыв скобки, получаем $x^2-(5a-2)x+a(4a-2)=x^2+(2-5a)x+4a^2-2a$ — совпадает с исходным выражением. Значит $$(x-a)(x-4a+2)\le0.$$

2. Смотрим на плоскости $aOx$. Второе уравнение $x^2+a^2=4$ задаёт окружность радиуса $2$ с центром в начале координат (если $a$ и $x$ считать координатами точки на плоскости). Прямые $x=a$ и $x=4a-2$ делят плоскость на 4 области, в каждой из которых знак выражения $(x-a)(x-4a+2)$ постоянен. Подставив пробные точки из каждой области, определяем, где неравенство верно (области I и III — «верно», II и IV — «неверно»).

3. Ищем дуги окружности, лежащие в «верных» областях. Система имеет решение только там, где точка окружности попадает в область, где выполняется неравенство. Значит нужно найти точки пересечения границ (прямых) с окружностью — они определяют концы искомых дуг.

4. Находим точки пересечения.

• Пересечение $x=a$ с окружностью: $2a^2=4\Rightarrow a=\pm\sqrt2$.
• Пересечение $x=4a-2$ с окружностью: $(4a-2)^2+a^2=4\Rightarrow17a^2-16a=0\Rightarrow a=0$ или $a=\dfrac{16}{17}$.

5. Определяем нужные дуги. Анализируя расположение областей относительно этих четырёх точек, видно, что подходящие дуги соответствуют значениям параметра $$a\in[-\sqrt2;0]\cup\Big[\dfrac{16}{17};\sqrt2\Big].$$ Для этих $a$ окружность попадает в область, где выполняется неравенство, значит система имеет хотя бы одно решение.