ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнение окружности

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Комбинация прямыхСистемы с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

система выражений новая строка дробь: числитель: x в квадрате плюс y в квадрате минус 2x плюс 2y минус 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 минус |y минус x| конец аргумента конец дроби =0, новая строка y минус ax=3a минус 3 конец системы .

имеет ровно одно решение.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Свести систему к пересечению двух дуг окружности (x−1)2+(y+1)2=8(x-1)^2+(y+1)^2=8 (ограниченных полосой x−2<y<x+2x-2<y<x+2) с пучком прямых через точку (−3;−3)(-3;-3), и через предельные и касательные положения прямой найти значения aa, при которых пересечение единственно.

  1. Первое уравнение имеет смысл, если знаменатель положителен, и равно 0, если числитель равен 0. Значит система равносильна x2+y2−2x+2y−6=0,  2−∣y−x∣>0x^2+y^2-2x+2y-6=0,\;2-|y-x|>0. Дополняя квадраты: (x−1)2+(y+1)2=8(x-1)^2+(y+1)^2=8, а второе условие даёт −2<y−x<2-2<y-x<2, то есть x−2<y<x+2x-2<y<x+2. Получаем окружность с центром (1;−1)(1;-1) и радиусом 222\sqrt2, но берём только те её точки, которые лежат в полосе между прямыми y=x−2y=x-2 и y=x+2y=x+2 — это две дуги.

  2. Второе уравнение y−ax=3a−3y-ax=3a-3 перепишем как y=a(x+3)−3y=a(x+3)-3 — это пучок прямых с угловым коэффициентом aa, проходящих через фиксированную точку (−3;−3)(-3;-3).

  3. Нужно найти, при каких aa прямая пучка пересекает объединение двух дуг ровно один раз. Для этого рассматриваем предельные положения прямой:

  • прямая через (−1;−3)(-1;-3) (точка входа полосы) даёт a1=0a_1=0;
  • прямая через (3;1)(3;1) даёт a2=2/3a_2=2/3;
  • прямая через (−1;1)(-1;1) даёт a3=2a_3=2;
  • касательная к окружности (расстояние от центра (1;−1)(1;-1) до прямой равно 222\sqrt2) даёт уравнение ∣2a−1∣a2+1=2\dfrac{|2a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt2, откуда 2a2−4a−1=02a^2-4a-1=0, a=1±62a=1\pm\dfrac{\sqrt6}{2}; подходит положительный корень a4=1+62a_4=1+\dfrac{\sqrt6}{2}, так как касание должно быть на "дальней" дуге.
  1. Сравнивая эти значения на числовой прямой и отслеживая, как меняется число пересечений прямой с дугами при изменении aa, получаем, что ровно одна точка пересечения возникает при 0<a≤2/30<a\le 2/3, при a=2a=2 и при a=1+6/2a=1+\sqrt6/2 (в остальных случаях либо 0, либо 2 точки).

Типичные ошибки

  • Не учитывают ограничение 2−∣y−x∣>02-|y-x|>0 и рассматривают всю окружность, а не только дуги в полосе.
  • Забывают проверить оба корня уравнения касательной и берут отрицательный корень вместо положительного.
  • Не анализируют графически, как меняется число решений при переходе через критические значения aa, и упускают часть промежутка или лишний изолированный корень.
Непонятно?

Похожие задачи