Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Выделяем полные квадраты в обоих неравенствах. Первое даёт круг $(x-1)^2+(y+2)^2\le (a+5)^2$ с центром $O_1(1;-2)$ и радиусом $R=|a+5|$ (при $a=-5$ круг стягивается в точку). Второе после деления на 5 даёт круг $\left(x-\dfrac a5\right)^2+\left(y+\dfrac{2a}5\right)^2\le1$ с центром $O_2\left(\dfrac a5;-\dfrac{2a}5\right)$ и радиусом $r=1$.

Система имеет решение тогда и только тогда, когда эти два круга пересекаются или касаются, то есть расстояние между центрами не превосходит суммы радиусов: $$\sqrt{\left(1-\frac a5\right)^2+\left(-2+\frac{2a}5\right)^2}\le |a+5|+1.$$ Замечаем, что второе слагаемое под корнем в 4 раза больше первого, поэтому подкоренное выражение равно $5\left(1-\dfrac a5\right)^2$, и неравенство упрощается до $$\sqrt5\left|1-\frac a5\right|\le|a+5|+1.$$ Раскрываем модули по трём промежуткам ($a\ge5$, $-5\le a<5$, $a<-5$) и решаем линейные неравенства относительно $a$.

При $a\ge5$ неравенство выполняется всегда. При $-5\le a<5$ получаем $a\ge\dfrac{11\sqrt5-35}{4}$. При $a<-5$ получаем $a\le-\dfrac{9\sqrt5+25}{4}$.

Объединив все три случая, получаем итоговый ответ.