Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Приводим второе уравнение к уравнению окружности. Выделяем полные квадраты по $x$ и $y$: $$x^2-4ax+4a^2+y^2-4ay+4a^2=4\;\Longleftrightarrow\;(x-2a)^2+(y-2a)^2=2^2.$$ Это окружность радиуса $2$ с центром в точке $(2a,2a)$ — при любом $a$ центр лежит на прямой $y=x$.

2. Понимаем, что «вычерчивает» вся семья окружностей. Когда $a$ пробегает все числа, центр скользит по прямой $y=x$, а окружность фиксированного радиуса 2 накрывает полосу между двумя прямыми, параллельными $y=x$, удалёнными от неё на величину радиуса. Расстояние от точки $(0,0)$ до прямой $y=x+d$ равно $\dfrac{|d|}{\sqrt2}$; приравнивая его к 2, получаем $d=\pm2\sqrt2$. Значит объединение всех таких окружностей — полоса между прямыми $y=x-2\sqrt2$ и $y=x+2\sqrt2$.

3. Условие существования подходящего $a$. Система имеет решение при некотором $a$, если график параболы $y=-b-x^2$ хотя бы в одной точке попадает в эту полосу. Так как ветви параболы направлены вниз, при больших $|x|$ она обязательно уходит ниже нижней границы полосы; по непрерывности достаточно, чтобы существовала точка, где парабола не ниже прямой $y=x-2\sqrt2$: $$-b-x^2\ge x-2\sqrt2.$$

4. Решаем квадратное неравенство. Переносим всё в одну сторону: $$x^2+x+b-2\sqrt2\le0.$$ Это неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда минимум левой части (в вершине параболы $x_0=-\dfrac12$) не превышает нуля: $$\frac14-\frac12+b-2\sqrt2\le0\;\Longrightarrow\;b\le2\sqrt2+\frac14.$$