Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Уравнение вида $A^2=B^2$ равносильно $A=B$ или $A=-B$. Здесь $A=x^2+\sqrt{x-2a}$, $B=1-2x+\sqrt{x-2a}$, поэтому исходное уравнение распадается на два случая (с обязательным условием существования корня $x-2a\ge0$).

Случай $A=B$: корень $\sqrt{x-2a}$ сокращается, остаётся $x^2+2x-1=0$, то есть $x=-1\pm\sqrt2$. Из этих корней в отрезок $[-1;1]$ попадает только $x=\sqrt2-1$ (так как $-1-\sqrt2<-1$). Чтобы этот $x$ был решением, нужно условие существования корня: $x-2a\ge0\Rightarrow a\le\dfrac{\sqrt2-1}{2}$. При выполнении этого неравенства получаем ровно одно решение на отрезке.

Случай $A=-B$: переносим всё в одну сторону — $(x-1)^2+2\sqrt{x-2a}=0$. Сумма квадрата (неотрицательного числа) и удвоенного корня (тоже неотрицательного) равна нулю только если оба слагаемых равны нулю. Значит $x=1$ и $\sqrt{x-2a}=0\Rightarrow x=2a$. Из $x=1=2a$ получаем $a=\dfrac12$, и при этом $x=1$ лежит в $[-1;1]$ — единственное решение.

Сравним границы: $\dfrac{\sqrt2-1}{2}<\dfrac12$, поэтому множества значений параметра из двух случаев не пересекаются — при $a=\dfrac12$ первый случай решений на отрезке не даёт, а при $a\le\dfrac{\sqrt2-1}{2}$ второй случай решений не даёт. Значит эти два условия не создают дополнительных решений друг у друга, и исходное уравнение имеет ровно одно решение на $[-1;1]$ именно при этих значениях параметра.

Объединяя оба случая, получаем итоговый ответ.