Задание 15 ЕГЭ: рациональные неравенства — метод интервалов и приёмы

О чём эта подтема

Рациональные неравенства — один из самых частых типов задания 15 в профильном ЕГЭ по математике. Это неравенства вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0$ (где $\vee$ — один из знаков $<, >, \le, \ge$), где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены или суммы дробей, сводимые к такому виду. Задача обычно замаскирована: перед вами могут стоять сложные дроби с общим квадратом в знаменателе, суммы нескольких простых дробей или выражения, которые нужно предварительно упростить, а иногда — увидеть скрытую алгебраическую структуру (полный квадрат, разность квадратов, удобную замену).

Главная цель — свести неравенство к одному отношению многочленов, разложенных на множители, а затем применить метод интервалов с учётом ОДЗ (области допустимых значений) и кратности корней. Освоив этот алгоритм один раз, можно решать практически любое неравенство такого типа, независимо от того, насколько громоздко оно выглядит на первый взгляд.

Что нужно знать

Для решения рациональных неравенств в задании 15 достаточно владеть следующим набором фактов и приёмов.

1. ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Все значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, исключаются из ответа независимо от знака неравенства.

2. Приведение к общему знаменателю. Сумму или разность нескольких дробей нужно свести к одной дроби. При этом нельзя просто «умножать обе части на знаменатель» — знаменатель может менять знак в зависимости от $x$, поэтому неравенство переносится в форму $\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0$, и умножение допустимо только на заведомо положительное выражение (например, на квадрат ненулевого множителя).

3. Разложение на множители. Многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на линейные (или неразложимые квадратичные с отрицательным дискриминантом) множители. Это ключевой шаг: без разложения метод интервалов не работает.

4. Метод интервалов. Если $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}\cdots}{(x-x_3)^{m_1}(x-x_4)^{m_2}\cdots}$, то знак дроби на промежутках между соседними корнями числителя и знаменателя чередуется по следующему правилу: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, при переходе через корень чётной кратности знак сохраняется.

5. Работа с квадратами в знаменателе. Если знаменатель — это квадрат некоторого выражения, например $(x+2)^2$, то он всегда неотрицателен (и положителен всюду, кроме точки, где он равен нулю — а такая точка исключена из ОДЗ). Это позволяет иногда домножать обе части неравенства на такой знаменатель без изменения знака.

6. Полезные алгебраические тождества. В некоторых заданиях числитель и знаменатель после преобразований дают структуру вида $a^2+b^2$ против $(a+b)^2$ или подобную. Умение увидеть замену $a = f(x)$, $b = g(x)$ и свести неравенство к $(a-b)^2 \le 0$ или аналогичному часто резко упрощает решение — вместо раскрытия громоздких скобок получаем короткое уравнение.

7. Оформление ответа. Ответ записывается в виде объединения промежутков; границы, входящие в ОДЗ и удовлетворяющие неравенству (при нестрогом знаке), включаются квадратной скобкой, а исключённые точки — круглой.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения рационального неравенства состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Найти ОДЗ. Определить множество значений $x$, при которых все знаменатели, встречающиеся в неравенстве, не равны нулю.

Шаг 2. Перенести всё в одну сторону. Привести неравенство к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} \vee 0$, объединив дроби через общий знаменатель. Числитель при этом не раскрывается «в лоб», а по возможности упрощается через известные формулы (квадрат суммы/разности, разность квадратов).

Шаг 3. Разложить числитель и знаменатель на множители. Это может потребовать группировки, вынесения общего множителя, применения формул сокращённого умножения или использования алгебраической замены (если в выражении видна повторяющаяся структура).

Шаг 4. Отметить корни числителя и знаменателя на числовой прямой. Точки из знаменателя — выколотые (не входят в ответ ни при каком знаке неравенства). Точки из числителя — включаются в ответ только при нестрогом неравенстве ($\le$ или $\ge$) и только если они входят в ОДЗ.

Шаг 5. Определить знаки на промежутках. Начиная с самого правого промежутка (там, где $x$ стремится к $+\infty$, знак дроби определяется знаком старших коэффициентов числителя и знаменателя), двигаться влево, меняя знак при переходе через корень нечётной кратности и сохраняя — при переходе через корень чётной кратности.

Шаг 6. Выбрать нужные промежутки согласно знаку неравенства и записать ответ, аккуратно расставив круглые и квадратные скобки.

Если в задаче видна «скрытая» алгебраическая структура (сумма квадратов, симметричные выражения), полезно ввести замену и попытаться свести неравенство к более простому виду ещё до применения метода интервалов — иногда это позволяет обойтись вовсе без него, получив уравнение или неравенство с единственным решением.

Разбор примера

Пример 1

Решить неравенство: $$\frac{x^2-2x+1}{(x+2)^2}+\frac{x^2+2x+1}{(x-3)^2}\le\frac{(2x^2-x+5)^2}{2(x+2)^2(x-3)^2}.$$

ОДЗ: $x\neq-2$, $x\neq3$.

Заметим, что числители левой части — полные квадраты: $$x^2-2x+1=(x-1)^2,\qquad x^2+2x+1=(x+1)^2.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю $2(x+2)^2(x-3)^2$ (он всегда положителен на ОДЗ): $$\frac{2(x-1)^2(x-3)^2+2(x+1)^2(x+2)^2}{2(x+2)^2(x-3)^2}\le\frac{(2x^2-x+5)^2}{2(x+2)^2(x-3)^2}.$$

Знаменатели равны и положительны, поэтому можно умножить обе части на $2(x+2)^2(x-3)^2$, сохранив знак неравенства: $$2(x-1)^2(x-3)^2+2(x+1)^2(x+2)^2\le(2x^2-x+5)^2.$$

Заметим, что $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ и $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$. Введём обозначения: $$a=x^2-4x+3,\qquad b=x^2+3x+2.$$

Тогда неравенство принимает вид $2a^2+2b^2\le(a+b)^2$. Проверим, что правая часть исходного неравенства действительно равна $(a+b)^2$: складываем $a+b=2x^2-x+5$ — это в точности выражение в скобках справа. Совпадение полное.

Раскроем правую часть: $$2a^2+2b^2\le a^2+2ab+b^2.$$

Переносим всё влево: $$a^2-2ab+b^2\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a-b)^2\le0.$$

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство $(a-b)^2\le0$ равносильно уравнению $(a-b)^2=0$, то есть $a=b$.

Находим $a-b$: $$a-b=(x^2-4x+3)-(x^2+3x+2)=-7x+1.$$

Уравнение $-7x+1=0$ даёт $x=\dfrac{1}{7}$.

Проверяем ОДЗ: $\dfrac{1}{7}\neq-2$ и $\dfrac{1}{7}\neq3$ — точка допустима.

Ответ: $x=\dfrac{1}{7}$.

Этот пример показывает важный приём: если после преобразований видна структура «сумма квадратов не превосходит квадрата суммы», всегда стоит проверить, не сводится ли неравенство к $(a-b)^2\le0$ — тогда решение получается почти мгновенно, без громоздкого раскрытия скобок.

Пример 2

Решить неравенство: $$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}-\frac{6}{x-3}\ge0.$$

ОДЗ: $x\neq1$, $x\neq2$, $x\neq3$.

Приводим левую часть к общему знаменателю $(x-1)(x-2)(x-3)$: $$\frac{(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)-6(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\ge0.$$

Раскрываем числитель по частям: $$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6,$$ $$2(x-1)(x-3)=2x^2-8x+6,$$ $$6(x-1)(x-2)=6x^2-18x+12.$$

Складываем первые два и вычитаем третье: $$(x^2-5x+6)+(2x^2-8x+6)-(6x^2-18x+12)=-3x^2+5x.$$

Вынесем $-x$ за скобку: $-3x^2+5x=-x(3x-5)$.

Неравенство принимает вид: $$\frac{-x(3x-5)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\ge0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (знак неравенства меняется на противоположный): $$\frac{x(3x-5)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\le0.$$

Отмечаем на числовой прямой корни числителя $x=0$ и $x=\dfrac{5}{3}$ (закрашенные точки, так как неравенство нестрогое и обе точки входят в ОДЗ), а также корни знаменателя $x=1,\,2,\,3$ (выколотые точки — они не входят в ОДЗ ни при каком знаке).

Порядок точек на прямой: $0 < 1 < \dfrac{5}{3} < 2 < 3$.

Все корни простые (кратность 1), поэтому знак дроби меняется при переходе через каждую точку. Определим знак на самом правом промежутке $x>3$: при больших $x$ числитель $x(3x-5)\approx3x^2>0$, знаменатель $(x-1)(x-2)(x-3)\approx x^3>0$, значит дробь положительна.

Двигаясь справа налево и чередуя знак на каждой отмеченной точке, получаем:

• $x>3$: $+$
• $2<x<3$: $-$
• $\frac{5}{3}<x<2$: $+$
• $1<x<\frac{5}{3}$: $-$
• $0<x<1$: $+$
• $x<0$: $-$

Неравенству $\dfrac{x(3x-5)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\le0$ удовлетворяют промежутки со знаком «$-$», а также точки, где дробь равна нулю ($x=0$ и $x=\dfrac{5}{3}$, они допустимы, так как не совпадают с точками знаменателя).

Собираем ответ: $$x\in(-\infty;0]\cup\left(1;\frac{5}{3}\right]\cup(2;3).$$

Обратите внимание: точки $x=1$, $x=2$, $x=3$ всюду остаются выколотыми (круглые скобки), а точки $x=0$ и $x=\dfrac{5}{3}$ включены (квадратные скобки), так как в этих точках числитель обращается в ноль, а знаменатель — нет.

Типичные ошибки

Забыть про ОДЗ. Самая частая ошибка — включить в ответ точки, где знаменатель обращается в ноль, или, наоборот, не проверить, что найденный из уравнения корень не совпадает с запрещённой точкой (как в примере 1, где стоило явно убедиться, что $x=1/7$ не равен $-2$ и $3$).

Домножение на выражение неизвестного знака. Нельзя просто «убрать знаменатели», умножив обе части неравенства на многочлен, который может менять знак в зависимости от $x$. Умножать можно только на заведомо положительное выражение (например, на квадрат) или переносить всё в одну часть и работать с дробью.

Ошибки при определении кратности корня. Если корень входит в разложение с чётной степенью (например, $(x-a)^2$), знак дроби при переходе через эту точку не меняется. Забывание этого правила приводит к неверной расстановке знаков на всей числовой прямой.

Потеря корня при определении итогового знака. Если после сокращения дроби (например, деления на $-1$) забыть изменить направление неравенства, весь дальнейший ответ окажется зеркально неверным.

Неверная расстановка скобок в ответе. Точки из знаменателя всегда исключаются круглой скобкой независимо от вида неравенства. Точки из числителя включаются квадратной скобкой только при нестрогом неравенстве и только если проходят проверку по ОДЗ.

Пропуск алгебраической структуры. В задачах вроде примера 1 попытка «в лоб» раскрыть все скобки и привести подобные приводит к очень громоздким вычислениям с высокой вероятностью арифметической ошибки. Стоит сначала присмотреться, нет ли скрытой замены или тождества, которое резко сократит объём выкладок.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к методу интервалов, всегда фиксируйте ОДЗ на черновике — это должно стать автоматическим первым шагом. При разложении многочленов на множители проверяйте результат обратной подстановкой хотя бы в одной точке, чтобы исключить арифметическую ошибку на раннем этапе — она размножится на все дальнейшие вычисления.

Если в условии встречаются повторяющиеся комбинации переменной (например, одинаковые произведения скобок в разных частях выражения), потратьте минуту на поиск замены — часто вычисление сокращается в разы, как в примере с $(a-b)^2\le0$. Такая экономия времени критична на экзамене.

При построении числовой прямой отмечайте сразу все точки — и из числителя, и из знаменателя — в правильном порядке по возрастанию, а рядом с каждой точкой указывайте её тип (выколотая или закрашенная) и кратность корня. Определяйте знак крайнего правого промежутка через анализ знаков старших коэффициентов — это надёжнее, чем подставлять произвольное число, особенно если коэффициенты дробные.

В конце обязательно сверьте границы промежутков с ОДЗ ещё раз: иногда точка формально удовлетворяет неравенству по знаку, но исключена из области определения — её нужно убрать из ответа даже если по логике метода интервалов она должна была войти.