Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Заметим, что знаменатель удобно собрать в виде $(x-2)^3-1+(x-3)^3$, потому что тогда первое слагаемое можно разложить по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ с $a=x-2,\ b=1$: $$(x-2)^3-1=(x-3)\big((x-2)^2+(x-2)+1\big)=(x-3)(x^2-3x+3).$$

Тогда знаменатель равен $$(x-3)(x^2-3x+3)+(x-3)^3=(x-3)\Big[(x^2-3x+3)+(x-3)^2\Big].$$ Раскрываем $(x-3)^2=x^2-6x+9$ и складываем: $$x^2-3x+3+x^2-6x+9=2x^2-9x+12.$$ Значит знаменатель $=(x-3)(2x^2-9x+12)$.

Квадратный трёхчлен $2x^2-9x+12$ имеет дискриминант $D=81-96=-15<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому он строго положителен при всех $x$. Значит его можно смело "убрать" — он не влияет на знак всей дроби, только знаменатель не равен нулю.

Исходное неравенство равносильно $$\frac{x}{x-3}\geqslant 0,$$ причём $x\neq 3$ (иначе деление на ноль).

Дробь $\dfrac{x}{x-3}$ неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака или числитель равен нулю. Метод интервалов для нулей $x=0$ и $x=3$ даёт: при $x<0$ — плюс, при $0<x<3$ — минус, при $x>3$ — плюс. Точку $x=0$ включаем (числитель равен 0, дробь равна 0, что удовлетворяет $\geqslant$), точку $x=3$ исключаем (запрет деления на ноль).

Получаем решение $x\leqslant 0$ или $x>3$, то есть $x\in(-\infty;0]\cup(3;+\infty)$.