Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $20x^2-32x+3$. Найдём корни через дискриминант: $D=32^2-4\cdot20\cdot3=784=28^2$, $x=\dfrac{32\pm28}{40}$, отсюда $x_1=\dfrac{3}{2},\; x_2=\dfrac{1}{10}$. Значит $20x^2-32x+3=(2x-3)(10x-1)$.

Знаменатель: $3x^2+7x+2$. $D=49-24=25$, $x=\dfrac{-7\pm5}{6}$, отсюда $x_1=-\dfrac13,\;x_2=-2$. Значит $3x^2+7x+2=(3x+1)(x+2)$.

Почему так делаем: любое квадратное неравенство удобнее решать методом интервалов, а для этого числитель и знаменатель нужно представить как произведение линейных множителей — их нули дают границы промежутков.

2. Перепишем неравенство: $$\frac{(2x-3)(10x-1)}{(x+2)(3x+1)}\le 0.$$

3. Отмечаем нули на числовой прямой. Нули числителя (входят в ответ, там дробь равна 0): $x=\dfrac{1}{10},\; x=\dfrac{3}{2}$. Нули знаменателя (не входят, там дробь не определена): $x=-2,\; x=-\dfrac13$.

Порядок точек: $-2 < -\dfrac13 < \dfrac1{10} < \dfrac32$.

4. Определяем знак дроби на каждом промежутке, подставляя пробные точки (при переходе через простой корень знак меняется):

• $x>\dfrac32$: знак $+$
• $\dfrac1{10}<x<\dfrac32$: знак $-$
• $-\dfrac13<x<\dfrac1{10}$: знак $+$
• $-2<x<-\dfrac13$: знак $-$
• $x<-2$: знак $+$

5. Выбираем промежутки, где дробь $\le0$, то есть отрицательна или равна нулю (равна нулю только в точках $x=\dfrac1{10}$ и $x=\dfrac32$, их включаем; точки $-2$ и $-\dfrac13$ исключаем, так как там знаменатель равен нулю):

$$x\in(-2;-\tfrac13)\cup[\tfrac1{10};\tfrac32].$$

Это и есть решение неравенства.