Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Находим область определения. Знаменатели $x-1$ и $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ не должны равняться нулю, поэтому $x\neq1$ и $x\neq2$.

2. Разложим квадратные трёхчлены на множители. $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, а $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Неравенство принимает вид: $$\frac{(x-2)(x-4)}{x-1}-\frac{x-4}{(x-1)(x-2)}\le 0.$$

3. Приводим к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$. Получаем $$\frac{(x-2)^2(x-4)-(x-4)}{(x-1)(x-2)}\le 0.$$ Выносим общий множитель $(x-4)$: $$\frac{(x-4)\big[(x-2)^2-1\big]}{(x-1)(x-2)}\le0.$$

4. Раскрываем разность квадратов. $(x-2)^2-1=(x-2-1)(x-2+1)=(x-3)(x-1)$. Тогда неравенство: $$\frac{(x-4)(x-3)(x-1)}{(x-1)(x-2)}\le0.$$

5. Сокращаем на $(x-1)$, помня, что $x\neq1$ (это условие ОДЗ, а не следствие сокращения — его нужно сохранить отдельно): $$\frac{(x-3)(x-4)}{x-2}\le0,\qquad x\neq1.$$

6. Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=3,\;x=4$ (включаются, так как неравенство нестрогое). Точка $x=2$ — вертикальная асимптота, исключается. Определяем знак выражения на интервалах, разделённых точками $2,3,4$:

• при $x<2$: знак «–» → подходит;
• при $2<x<3$: знак «+» → не подходит;
• при $3\le x\le4$: знак «–» или $0$ → подходит;
• при $x>4$: знак «+» → не подходит.

Получаем $x\in(-\infty;2)\cup[3;4]$.

7. Учитываем исключённую точку $x=1$. Она лежит внутри промежутка $(-\infty;2)$, поэтому убираем её: $$x\in(-\infty;1)\cup(1;2)\cup[3;4].$$