Задание 15 ЕГЭ (профиль): неравенства всех типов — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 15 — это неравенство (или система из одного неравенства с ветвлением на случаи), для решения которого нужно:

• правильно найти область допустимых значений (ОДЗ);
• знать свойства степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической функций и модуля;
• уметь сводить сложное неравенство к рациональному через замену переменной, рационализацию или возведение в степень;
• владеть методом интервалов, в том числе обобщённым (с учётом кратности корней);
• аккуратно пересекать промежутки и не терять/не добавлять точки на границах ОДЗ.

Задание комбинированное: под одной формулировкой могут скрываться логарифмы с переменным основанием, корни, модули и показательные выражения одновременно.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Решите неравенство …». Ответ — множество значений $x$, чаще всего объединение промежутков.

Задание оценивается в 2 первичных балла:

• 2 балла — верное, полностью обоснованное решение и верный ответ;
• 1 балл — решение в целом верное (выбран правильный метод), но допущена ошибка на одном из равносильных переходов, не искажающая логику решения, или потеряны отдельные точки на границе;
• 0 баллов — неверный метод, грубые ошибки в переходах или неверный ответ без обоснования.

Что нужно знать

• Свойства степени: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, $a^{0}=1$ при $a\ne0$.
• Монотонность показательной функции: при $a>1$ функция $a^{x}$ возрастает, при $0<a<1$ — убывает.
• Свойства логарифма (при $x>0,\ y>0,\ a>0,\ a\ne1$): $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^{k}=k\log_a x$, $\log_a x=\dfrac{\log_c x}{\log_c a}$.
• Монотонность логарифма: при $a>1$ функция $\log_a x$ возрастает, при $0<a<1$ — убывает. Отсюда при $a>1$: $\log_a f<\log_a g \iff f<g$; при $0<a<1$: $\log_a f<\log_a g \iff f>g$ (знак переворачивается).
• Таблица рационализации: знак $\log_{h(x)}f(x)-\log_{h(x)}g(x)$ совпадает со знаком $(h(x)-1)\,(f(x)-g(x))$ на ОДЗ; знак $a^{f(x)}-a^{g(x)}$ совпадает со знаком $(a-1)(f(x)-g(x))$.
• ОДЗ: под корнем чётной степени — выражение $\ge0$; знаменатель дроби $\ne0$; аргумент логарифма $>0$; основание логарифма $>0$ и $\ne1$.
• Определение модуля: $|x|=x$ при $x\ge0$ и $|x|=-x$ при $x<0$; важно помнить, что $\sqrt{(f(x))^{2}}=|f(x)|$, а не $f(x)$.
• Равносильные переходы с корнями: $$\sqrt{f(x)}<g(x)\iff\begin{cases}f(x)\ge0,\\ g(x)>0,\\ f(x)<g^{2}(x);\end{cases}\qquad \sqrt{f(x)}\ge \sqrt{g(x)}\iff \begin{cases}g(x)\ge0,\\ f(x)\ge g(x).\end{cases}$$
• Обобщённый метод интервалов: при переходе через корень чётной кратности знак не меняется, через корень нечётной кратности — меняется.

Методы решения

1. Метод рационализации (для неравенств с переменным основанием логарифма или сравнения показательных выражений). Сложное выражение заменяется на равносильное по знаку произведение множителей, после чего задача сводится к рациональному неравенству.

Мини-пример: решить $\log_{x}(x+2)>1$. ОДЗ: $x>0,\ x\ne1$. Перепишем $1=\log_x x$, тогда неравенство $\log_x(x+2)-\log_x x>0$ равносильно (по рационализации) $(x-1)\big((x+2)-x\big)>0$, то есть $2(x-1)>0\Rightarrow x>1$. С учётом ОДЗ ответ: $x>1$.

2. Обобщённый метод интервалов (для рациональных неравенств и любых, сведённых к произведению множителей).

Мини-пример: $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-3}\ge0$. Нули числителя: $2,-1$ (нечётная кратность), точка разрыва $x=3$ выколота. Расставляя знаки, получаем $x\in[-1;2]\cup(3;+\infty)$.

3. Замена переменной (для показательных и логарифмических неравенств второй степени, «квадратных» относительно $a^{x}$ или $\log_a x$).

Мини-пример: $4^{x}-5\cdot2^{x}+4\le0$. Пусть $t=2^{x}>0$: $t^{2}-5t+4\le0\Rightarrow 1\le t\le4\Rightarrow 1\le2^{x}\le4\Rightarrow 0\le x\le2$.

4. Переход к равносильной системе (для иррациональных неравенств, где возведение в квадрат напрямую невозможно из-за знаков).

Мини-пример: $\sqrt{2x-1}<x-1$. Равносильная система: $\begin{cases}2x-1\ge0,\\ x-1>0,\\ 2x-1<(x-1)^2.\end{cases}$ Решая, получаем $x>1$ и $x^{2}-4x+2>0\Rightarrow x<2-\sqrt2$ или $x>2+\sqrt2$; итог: $x>2+\sqrt2$.

5. Раскрытие модуля (по определению на промежутках или через возведение в квадрат, если обе части неотрицательны).

Мини-пример: $|x-3|+|x+1|\le6$. Рассматриваем три промежутка ($x<-1$, $-1\le x\le3$, $x>3$), в каждом снимаем модули по знаку и решаем линейное неравенство; итог: $x\in[-2;4]$.

Алгоритм решения по шагам

1. Найти ОДЗ переменной (корни, знаменатели, основания и аргументы логарифмов).
2. Привести все логарифмы к одному основанию или объединить их по свойствам суммы/разности; аналогично для степеней — привести к одному основанию.
3. Определить, является ли основание постоянным или переменным, больше или меньше единицы — от этого зависит, нужно ли менять знак неравенства или применять рационализацию.
4. Свести неравенство к рациональному (через замену переменной, рационализацию или возведение в степень с системой условий).
5. Разложить получившееся выражение на множители и решить методом интервалов, учитывая кратность корней.
6. Пересечь найденное решение с ОДЗ.
7. Записать ответ как объединение промежутков, проверить контрольные точки подстановкой в исходное неравенство.

Разбор примеров

Пример 1. Решить $\log_{1/3}(18-9x)<\log_{1/3}(x^{2}-6x+5)+\log_{1/3}(x+2)$.

Основание $1/3<1$, значит функция убывающая — при переходе к аргументам знак неравенства изменится на противоположный.

Объединяем логарифмы справа: $\log_{1/3}(x^{2}-6x+5)+\log_{1/3}(x+2)=\log_{1/3}\big[(x^{2}-6x+5)(x+2)\big]$.

Неравенство принимает вид $\log_{1/3}(18-9x)<\log_{1/3}\big[(x^{2}-6x+5)(x+2)\big]$.

ОДЗ: $x^{2}-6x+5>0$ и $x+2>0$ (условие $18-9x>0$ отдельно не пишем — оно следует из решаемого неравенства при этой ОДЗ).

Так как основание меньше единицы, из $\log_{1/3}A<\log_{1/3}B$ следует $A>B$. Получаем систему: $$\begin{cases}x^{2}-6x+5>0,\\ x+2>0,\\ 18-9x>(x^{2}-6x+5)(x+2).\end{cases}$$

Раскрываем произведение: $(x^{2}-6x+5)(x+2)=x^{3}-4x^{2}-7x+10$. Неравенство $18-9x>x^{3}-4x^{2}-7x+10$ приводится к $x^{3}-4x^{2}+2x-8<0$.

Разложение группировкой: $x^{2}(x-4)+2(x-4)=(x^{2}+2)(x-4)<0$. Так как $x^{2}+2>0$ всегда, знак зависит только от $(x-4)$: неравенство равносильно $x<4$.

Первое условие: $(x-1)(x-5)>0\Rightarrow x<1$ или $x>5$. Второе условие: $x>-2$.

Пересекая $x<4$, ($x<1$ или $x>5$), $x>-2$: вариант $x>5$ отпадает (не совместим с $x<4$), остаётся $-2<x<1$.

Ответ: $x\in(-2;1)$.

Пример 2. Решить $\left(x+\dfrac{3}{x}\right)\left(\dfrac{\sqrt{x^{2}-6x+9}-1}{\sqrt{5-x}-1}\right)^{2}\ge4\left(\dfrac{\sqrt{x^{2}-6x+9}-1}{\sqrt{5-x}-1}\right)^{2}$.

Заметим $\sqrt{x^{2}-6x+9}=|x-3|$. Обозначим $t=\dfrac{|x-3|-1}{\sqrt{5-x}-1}$. Неравенство принимает вид $t^{2}\left(x+\dfrac3x-4\right)\ge0$.

ОДЗ: $5-x\ge0$, $\sqrt{5-x}\ne1\Rightarrow x\ne4$, $x\ne0$ (знаменатель дроби $3/x$).

Случай 1: $t=0$, то есть $|x-3|=1\Rightarrow x=2$ или $x=4$. Значение $x=4$ исключено ОДЗ, остаётся $x=2$ — при нём неравенство выполняется всегда (обе части равны нулю).

Случай 2: $t\ne0$ (значит $x\ne2,4$), тогда нужно $x+\dfrac3x-4\ge0\Rightarrow \dfrac{x^{2}-4x+3}{x}\ge0\Rightarrow\dfrac{(x-1)(x-3)}{x}\ge0$.

Метод интервалов по точкам $0,1,3$ даёт $x\in(0;1]\cup[3;+\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x\le5$, $x\ne0,4$) и исключаем $x=2,4$ (уже вне полученного множества, кроме проверки границ): получаем $x\in(0;1]\cup[3;4)\cup(4;5]$.

Добавляем точку из случая 1: $x=2$.

Ответ: $x\in(0;1]\cup\{2\}\cup[3;4)\cup(4;5]$.

Пример 3. Решить $\sqrt{7-x}<\dfrac{\sqrt{x^{3}-6x^{2}+14x-7}}{\sqrt{x-1}}$.

ОДЗ: $7-x\ge0\Rightarrow x\le7$; $x-1>0\Rightarrow x>1$; $x^{3}-6x^{2}+14x-7\ge0$.

Умножаем обе (неотрицательные) части на $\sqrt{x-1}>0$: $\sqrt{(7-x)(x-1)}<\sqrt{x^{3}-6x^{2}+14x-7}$. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $$(7-x)(x-1)<x^{3}-6x^{2}+14x-7.$$

Раскрываем: $(7-x)(x-1)=-x^{2}+8x-7$. Переносим всё вправо: $$0<x^{3}-6x^{2}+14x-7+x^{2}-8x+7=x^{3}-5x^{2}+6x.$$

Разложение: $x^{3}-5x^{2}+6x=x(x-2)(x-3)>0$.

Метод интервалов по точкам $0,2,3$: $x\in(0;2)\cup(3;+\infty)$.

Проверка кубического выражения из ОДЗ на промежутке $x>1$ (например, при $x=1{,}5$, $x=4$, $x=7$) показывает, что $x^{3}-6x^{2}+14x-7>0$ всюду в этой области, значит отдельное ограничение не сужает ответ.

Пересекаем $(0;2)\cup(3;+\infty)$ с ОДЗ $x\in(1;7]$:

Ответ: $x\in(1;2)\cup(3;7]$.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают найти ОДЗ до преобразований — теряют или добавляют лишние корни.
• Не меняют знак неравенства при переходе от логарифмов/степеней с основанием $0<a<1$ к аргументам.
• При объединении логарифмов забывают, что сумма $\log_a f+\log_a g$ определена только при $f>0$ и $g>0$ одновременно, а не при $fg>0$.
• Возводят обе части неравенства в квадрат без проверки знаков — это допустимо только когда обе части неотрицательны.
• Забывают, что $\sqrt{(x-a)^2}=|x-a|$, а не просто $x-a$.
• При делении неравенства на выражение с переменной не рассматривают случай смены знака делителя.
• В нестрогих неравенствах теряют граничные точки, где множитель обращается в ноль.
• Не пересекают итоговое решение с ОДЗ в самом конце, полагаясь только на промежуточные условия.

Как готовиться

• Проработать каждую подтему отдельно: рациональные, показательные, логарифмические, иррациональные неравенства, неравенства с модулем и тригонометрией — на 5–7 задачах каждого типа.
• Выучить наизусть таблицу рационализации и условия равносильных переходов с корнями и модулями.
• При решении всегда фиксировать ОДЗ отдельным пунктом и возвращаться к нему в конце.
• Разбирать задания с несколькими «слоями» (лог + степень + модуль) — именно они чаще всего встречаются в реальном варианте.
• После получения ответа подставлять контрольную точку из каждого промежутка в исходное неравенство для проверки.
• Оформлять решение цепочкой равносильных переходов — это снижает риск потери баллов за обоснование.