Задание 15 ЕГЭ: логарифмические неравенства разных типов

О чём эта подтема

Задание 15 профильного ЕГЭ часто содержит логарифмическое неравенство, которое не решается «по шаблону» — простой заменой переменной или переходом к одному основанию. В таких заданиях логарифмы с разными основаниями и переменными сочетаются с многочленами, произведениями и суммами слагаемых. Нужно уметь приводить всё к общему основанию, группировать слагаемые, раскладывать выражение на множители и грамотно анализировать знак произведения на области допустимых значений (ОДЗ).

Эта подтема — фактически проверка того, насколько свободно вы владеете свойствами логарифмов и методом интервалов применительно к нестандартным, «собранным» выражениям. Здесь нет одного универсального алгоритма на все случаи, но есть общая логика действий, которая работает почти всегда.

Что нужно знать

Для решения таких неравенств достаточно уверенно владеть следующим набором фактов.

Область допустимых значений. Логарифм $\log_a b$ определён, когда $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$. Прежде чем что-либо упрощать, нужно выписать ОДЗ и держать её в голове до конца решения — финальный ответ обязательно пересекается с ОДЗ.

Переход к одному основанию. Формула перехода: $$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}.$$ Частный, но очень полезный случай: если основания — степени одного числа, например $16=2^4$, то $$\log_{16}x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 16} = \dfrac{\log_2 x}{4}.$$ Это позволяет выразить все логарифмы через один и тот же $\log_2 x$ (или любой другой) и работать с ним как с новой переменной.

Свойство степени под логарифмом: $$\log_a (b^n) = n\log_a b, \quad b>0.$$

Монотонность логарифма. При $a>1$ функция $\log_a t$ возрастает, поэтому $$\log_a t \ge \log_a s \iff t \ge s \ (\text{при } t,s>0).$$ При $0<a<1$ знак неравенства меняется на противоположный. Это нужно, чтобы сравнивать логарифм с числом (например, с нулём: $\log_a t \ge 0 \iff t\ge 1$ при $a>1$).

Метод рационализации (замена множителя на более простой знако-эквивалентный). Часто произведение или сумма логарифмических выражений сводится к произведению многочленов, знак которого легко определить методом интервалов. Важно уметь выносить общий множитель за скобку и раскладывать квадратный трёхчлен на множители.

Метод интервалов для произведений. Если неравенство приведено к виду $f(x)\cdot g(x) \ge 0$ (или $\le 0$), решение находится через нули каждого множителя и анализ знака на промежутках между ними, с учётом ОДЗ.

Больше почти ничего специфического не требуется — весь успех строится на аккуратном алгебраическом преобразовании и дисциплине работы с ОДЗ.

Как решать: метод и алгоритм

Общий план действий для «разных» логарифмических неравенств такой.

Шаг 1. Найти ОДЗ. Выписать все условия положительности подлогарифмных выражений и условия на основания. Решить получившуюся систему — это будущее ограничение для ответа.

Шаг 2. Привести все логарифмы к одному основанию. Если в неравенстве встречаются $\log_{16}x$, $\log_2 x$ и подобные, выразить их через один и тот же логарифм (обычно самый простой, например $\log_2 x$ или $\log_a x$ с наименьшим по модулю показателем).

Шаг 3. Раскрыть степени под логарифмом по формуле $\log_a(b^n)=n\log_a b$, если это упрощает выражение.

Шаг 4. Перенести всё в одну сторону и разложить на множители. Часто после приведения к общему основанию получается выражение вида $$\log_a x \cdot P(x) \ge 0,$$ где $P(x)$ — многочлен. Это ключевой момент: неравенство превращается в произведение «простого» логарифмического множителя и алгебраического многочлена.

Шаг 5. Если есть общий положительный (или отрицательный) на ОДЗ множитель, его можно сократить, не забывая, что если он строго знакопостоянен на ОДЗ, знак неравенства не меняется (для положительного множителя) или меняется на противоположный (для отрицательного).

Шаг 6. Применить метод интервалов. Найти нули каждого множителя, отметить их на числовой прямой вместе с границами ОДЗ, определить знак произведения на каждом промежутке.

Шаг 7. Выбрать промежутки, удовлетворяющие знаку неравенства, пересечь их с ОДЗ и записать ответ, аккуратно решая, какие точки включать (закрытые или открытые скобки) — это зависит от того, нестрогое неравенство или строгое, и входит ли точка в ОДЗ.

Особый случай — неравенства вида $x\cdot\log_a(g(x)) \ge 0$ или похожие, где переменная стоит и вне логарифма, и внутри. Здесь удобно рассуждать через разбиение на случаи: произведение двух множителей неотрицательно, если оба множителя неотрицательны или оба неположительны (с учётом ОДЗ на каждом шаге). Такой разбор на случаи — фактически ручная реализация метода интервалов, когда явно расписать общий многочлен неудобно.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство: $$x^2\log_{16}x \ge \log_{16}x^5 + x\log_2 x.$$

Шаг 1. ОДЗ. Логарифмы берутся от $x$, значит нужно $x>0$.

Шаг 2. Приведение к общему основанию. Заметим, что $16=2^4$, поэтому $$\log_{16}x = \dfrac{\log_2 x}{4} \quad\Rightarrow\quad \log_2 x = 4\log_{16}x.$$ Также используем свойство степени: $$\log_{16}x^5 = 5\log_{16}x.$$ Подставим оба преобразования в исходное неравенство: $$x^2\log_{16}x \ge 5\log_{16}x + 4x\log_{16}x.$$

Шаг 3. Перенос всех членов в одну сторону. $$x^2\log_{16}x - 5\log_{16}x - 4x\log_{16}x \ge 0.$$

Шаг 4. Вынесение общего множителя. $$\log_{16}x\,(x^2 - 4x - 5) \ge 0.$$ Разложим квадратный трёхчлен: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. Получаем: $$\log_{16}x\,(x-5)(x+1) \ge 0.$$

Шаг 5. Использование ОДЗ для упрощения. На ОДЗ $x>0$, поэтому множитель $(x+1)$ всегда строго положителен ($x+1>1>0$). Значит, его можно сократить, не меняя знак неравенства: $$\log_{16}x\,(x-5) \ge 0.$$

Шаг 6. Метод интервалов. Нули множителей: $\log_{16}x=0 \Rightarrow x=1$; $x-5=0 \Rightarrow x=5$. Эти точки разбивают луч $x>0$ на три промежутка.

• При $0<x<1$: $\log_{16}x<0$ (так как $x<1$, а основание $16>1$), а $(x-5)<0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно — неравенство выполняется.
• При $1<x<5$: $\log_{16}x>0$, а $(x-5)<0$. Произведение отрицательно — не подходит.
• При $x>5$: оба множителя положительны, произведение положительно — подходит.

В точках $x=1$ и $x=5$ произведение равно нулю, а неравенство нестрогое, значит эти точки включаются.

Ответ: $x\in(0;1]\cup[5;+\infty)$.

Пример 2. Решите неравенство: $$x\log_4(5-3x-x^2) \ge 0.$$

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $5-3x-x^2>0$, то есть $x^2+3x-5<0$. Находим корни уравнения $x^2+3x-5=0$: $$x = \dfrac{-3\pm\sqrt{9+20}}{2} = \dfrac{-3\pm\sqrt{29}}{2}.$$ Поскольку парабола $x^2+3x-5$ направлена ветвями вверх, неравенство $x^2+3x-5<0$ выполняется между корнями: $$x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2};\ \dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}\right).$$ Численно это примерно $(-4{,}19;\ 1{,}19)$ — это и есть ОДЗ.

Шаг 2. Особенность структуры. Здесь переменная $x$ стоит и как множитель, и внутри логарифма, поэтому единый многочлен не выделить — работаем через разбор случаев по знаку произведения. Произведение $x\cdot\log_4(5-3x-x^2)$ неотрицательно в трёх ситуациях: один из множителей равен нулю (тогда всё выражение равно нулю), либо оба множителя строго положительны, либо оба строго отрицательны.

Случай $x=0$. Подставляем: значение выражения равно $0$, неравенство $0\ge0$ верно, и $x=0$ входит в ОДЗ. Точка $x=0$ входит в ответ.

Случай $x>0$ и $\log_4(5-3x-x^2)\ge 0$. Условие на логарифм означает, что подлогарифменное выражение не меньше $1$ (основание $4>1$, логарифм возрастает): $$5-3x-x^2\ge 1 \iff -x^2-3x+4\ge0 \iff x^2+3x-4\le0 \iff (x+4)(x-1)\le0 \iff x\in[-4;1].$$ Пересекаем с условием $x>0$: получаем $x\in(0;1]$. Это подмножество ОДЗ, всё подходит.

Случай $x<0$ и $\log_4(5-3x-x^2)\le 0$. Условие на логарифм теперь означает, что подлогарифменное выражение не больше $1$: $$5-3x-x^2\le1 \iff x^2+3x-4\ge0 \iff x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty).$$ Пересекаем с условием $x<0$: остаётся $x\in(-\infty;-4]$. Теперь нужно пересечь ещё и с ОДЗ, левая граница которой $\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2}\approx-4{,}19$. Получаем: $$x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2};\ -4\right].$$

Объединение всех случаев. Собираем вместе: точка $x=0$, промежуток $(0;1]$ и промежуток $\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2}; -4\right]$. Точка $0$ и промежуток $(0;1]$ объединяются в $[0;1]$.

Ответ: $x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}{2};\ -4\right]\cup[0;1]$.

Этот пример показывает типичный приём: когда единое разложение на множители невозможно, неравенство честно разбивается на случаи по знаку каждого сомножителя, а в конце все куски аккуратно объединяются с учётом ОДЗ.

Типичные ошибки

Забыли про ОДЗ или применили её только «для проверки» в конце. ОДЗ нужно учитывать на каждом шаге, особенно при пересечении с промежутками, полученными из условий на логарифмы — иначе легко получить лишние или отсутствующие точки, как в примере 2, где граница ОДЗ обрезала промежуток $(-\infty;-4]$.

Сокращение на множитель без проверки его знака. В примере 1 сокращение на $(x+1)$ было законным только потому, что на ОДЗ ($x>0$) этот множитель гарантированно положителен. Если бы множитель мог менять знак, сокращать было бы нельзя — пришлось бы рассматривать все нули произведения.

Неверный переход от логарифмического неравенства к алгебраическому. Забывают учитывать основание: при основании больше единицы знак сохраняется, при основании между нулём и единицей — меняется на противоположный. В примере 2 основание $4>1$, поэтому переходы делались без смены знака, но в других задачах это может быть не так.

Потеря части ответа при работе со случаями. Когда неравенство разбивается на несколько случаев (как в примере 2), легко забыть один из них — например, точку, где множитель равен нулю, или случай с обоими отрицательными множителями. Стоит явно выписать все логически возможные комбинации знаков.

Ошибки в знаках при раскрытии скобок и переносе слагаемых. При работе с $\log_{16}x^5=5\log_{16}x$ и подобными преобразованиями легко потерять коэффициент или знак минус, что искажает весь дальнейший ход решения.

Неправильное включение границ в ответ. Нужно всегда сверяться: если неравенство нестрогое и точка входит в ОДЗ, она включается; если исходное неравенство строгое или точка не входит в ОДЗ (обращает подлогарифменное выражение в ноль или основание в единицу), она исключается.

На что обратить внимание на экзамене

При решении подобных неравенств на экзамене полезно придерживаться следующей дисциплины. Сначала выпишите ОДЗ отдельной строкой и не отвлекайтесь от неё до самого конца — так вы не забудете применить её при формировании финального ответа. Затем ищите возможность привести все логарифмы к одному основанию: если видите числа вроде $16$ и $2$, $9$ и $3$, $25$ и $5$ — это почти всегда сигнал, что нужно выразить один логарифм через другой по формуле перехода.

После приведения к общему основанию старайтесь вынести общий множитель и получить произведение вида «логарифм умножить на многочлен» — это резко упрощает дальнейший анализ методом интервалов. Если такое разложение не получается из-за того, что переменная одновременно находится и снаружи, и внутри логарифма, не бойтесь честно разбивать неравенство на случаи по знакам множителей — это законный и рабочий метод, просто требует аккуратности при объединении результатов.

При записи ответа обязательно нарисуйте числовую прямую, отметьте на ней границы ОДЗ, нули каждого множителя и знаки на промежутках — это визуально снижает вероятность арифметической или логической ошибки. Наконец, после получения ответа полезно подставить одну-две контрольные точки из каждого выбранного промежутка в исходное (не преобразованное) неравенство, чтобы убедиться, что оно действительно выполняется — это хорошая финальная проверка, которая часто выявляет забытые ограничения или ошибки знака.