Задание 15 ЕГЭ: неравенства смешанного типа — метод решения и разбор примеров

О чём эта подтема

В задании 15 профильного ЕГЭ регулярно встречаются неравенства, которые нельзя отнести к одному «чистому» типу — логарифмическому, показательному или иррациональному. Это неравенства смешанного типа: в одном выражении соседствуют логарифмы, степени, модули и дроби. Такие задачи не решаются по шаблону — здесь важно увидеть скрытую структуру: часто под разными «масками» прячется один и тот же множитель или одна и та же функция, и задача сводится к разложению выражения на множители и последующему методу интервалов.

Главная особенность подтемы — комбинирование приёмов из разных разделов алгебры за одно решение: свойства логарифмов и модулей, вынесение общего множителя, замена переменной, разбор случаев по знаку. Именно поэтому эти неравенства считаются одними из самых сложных в задании 15, но при этом они хорошо поддаются алгоритмизации, если один раз разобраться в логике.

Что нужно знать

Для решения неравенств смешанного типа нужен не новый набор формул, а умение грамотно комбинировать уже известные факты:

• ОДЗ выражения. Логарифм определён только при положительном аргументе и положительном основании, не равном 1; знаменатель дроби не равен нулю; подмодульное выражение — любое число, но сам модуль неотрицателен.
• Свойство логарифма чётной степени: $\lg a^{2n} = 2n\lg|a|$, а если известно, что $a>0$ на ОДЗ, то $\lg a^{2} = 2\lg a$.
• Симметрия выражений под знаком логарифма. Если под одним логарифмом стоит выражение $f(x)$, а под другим — $-f(x)$ в квадрате, то $(-f(x))^2 = f(x)^2$, и оба логарифма можно свести к одному через $\lg f(x)^2 = 2\lg|f(x)|$.
• Работа с модулем. Модуль раскрывается по определению: $|a|=a$ при $a\ge0$ и $|a|=-a$ при $a<0$. Обычно это требует разбиения решения на случаи по знаку выражения под модулем.
• Метод рационализации и разложение на множители. Часто удаётся вынести общий множитель (например, логарифмическое или показательное выражение) за скобку и свести неравенство к виду $g(x)\cdot h(x) \ge 0$ или $\le 0$, дальше — обычный метод интервалов.
• Замена переменной. Если сложное выражение (например, $7^x-6$ или $\lg(x^2+2x-2)$) встречается несколько раз, разумно ввести замену — это упрощает структуру и снижает риск ошибки.
• Аккуратное деление на выражение переменного знака. Делить обе части неравенства на выражение, содержащее $x$, можно только если известен его знак; иначе нужно рассматривать случаи или переносить всё в одну сторону и работать с произведением/частным.

Как решать: метод и алгоритм

Общий план действий одинаков почти для всех неравенств смешанного типа:

1. Найти ОДЗ. Выписать все ограничения: положительность аргументов логарифмов, ненулевые знаменатели, неотрицательность подкоренных выражений (если есть). Это первый и обязательный шаг — многие ошибки в задании 15 связаны именно с забытой ОДЗ.
2. Упростить выражение. Использовать тождества для логарифмов чётной степени, привести подобные слагаемые, заметить симметричные или совпадающие выражения под разными знаками (логарифм, модуль, степень).
3. Перенести всё в одну сторону. Свести неравенство к виду $F(x) \ge 0$ (или $\le 0$, $>0$, $<0$), где $F(x)$ — единое выражение.
4. Разложить на множители или ввести замену. Постараться выделить общий множитель (часто это логарифмическое выражение или разность степеней). После вынесения множителя неравенство принимает вид произведения или частного простых функций.
5. Рассмотреть случаи по знаку тех частей, которые содержат модуль или требуют деления. Обычно область определения естественным образом разбивается на 2–3 промежутка (например, по знаку $x-1$ или по знаку $7^x-6$), и в каждом промежутке модуль или неравенство раскрываются однозначно.
6. В каждом случае решить получившееся более простое неравенство — методом интервалов, через свойства монотонности логарифма или показательной функции.
7. Объединить решения всех случаев и пересечь с ОДЗ. Финальный ответ — это объединение промежутков, полученных в каждом случае, с обязательной проверкой на ОДЗ.
8. Проверить границы и особые точки — точки, где выражение равно нулю (например, где логарифм обращается в 0), часто дают отдельные точки в ответе (как изолированная точка), которые легко потерять при формальном делении.

Разбор примера

Пример 1

Решить неравенство: $$\frac{(x^2+x)\lg(x^2+2x-2)}{|x-1|} \ge \frac{\lg(-x^2-2x+2)^2}{x-1}.$$

Шаг 1. ОДЗ. Нужно: $x^2+2x-2>0$ (аргумент левого логарифма), $(-x^2-2x+2)^2>0$, то есть $x^2+2x-2\ne0$ — но это уже входит в первое условие; и $x\ne1$ (оба знаменателя). Итак ОДЗ: $x^2+2x-2>0$, $x\ne1$.

Шаг 2. Упрощение правой части. Заметим, что $-x^2-2x+2 = -(x^2+2x-2)$, поэтому $$(-x^2-2x+2)^2 = (x^2+2x-2)^2.$$ На ОДЗ $x^2+2x-2>0$, значит $(x^2+2x-2)^2 = (x^2+2x-2)^2$ и $$\lg(x^2+2x-2)^2 = 2\lg(x^2+2x-2).$$ Обозначим $t=\lg(x^2+2x-2)$. Неравенство принимает вид: $$\frac{(x^2+x)t}{|x-1|} \ge \frac{2t}{x-1}.$$

Шаг 3. Перенос и вынесение общего множителя. $$t\left(\frac{x^2+x}{|x-1|} - \frac{2}{x-1}\right) \ge 0.$$

Шаг 4. Разбор по знаку $x-1$.

Случай $x>1$: $|x-1|=x-1$, скобка равна $$\frac{x^2+x-2}{x-1} = \frac{(x+2)(x-1)}{x-1} = x+2.$$ Неравенство: $t(x+2)\ge0$. При $x>1$ имеем $x+2>0$, поэтому нужно $t\ge0$: $$\lg(x^2+2x-2)\ge0 \Rightarrow x^2+2x-2\ge1 \Rightarrow x^2+2x-3\ge0 \Rightarrow (x+3)(x-1)\ge0.$$ Отсюда $x\le-3$ или $x\ge1$. Пересекая с $x>1$, получаем весь промежуток $x>1$ (ОДЗ на нём выполнено автоматически).

Случай $x<1$: $|x-1|=1-x$, скобка равна $$\frac{x^2+x}{1-x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x^2+x}{1-x}+\frac{2}{1-x} = \frac{x^2+x+2}{1-x}.$$ Так как $x^2+x+2$ имеет отрицательный дискриминант ($1-8<0$), это выражение всегда положительно; при $x<1$ и $1-x>0$ вся дробь положительна. Значит неравенство $t\cdot(\text{положительное})\ge0$ равносильно $t\ge0$, то есть снова $x\le-3$ или $x\ge1$. Пересекая с $x<1$, остаётся $x\le-3$.

Шаг 5. Объединение и проверка ОДЗ. Получаем $x\le-3$ или $x>1$. Проверка: при $x\le-3$ и при $x>1$ выражение $x^2+2x-2$ действительно положительно (корни квадратного трёхчлена $-1\pm\sqrt3\approx-2{,}73$ и $0{,}73$). Итог: $$x\in(-\infty;-3]\cup(1;+\infty).$$

Пример 2

Решить неравенство: $$|6-7^x| \le (7^x-6)\log_6(x+1).$$

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $x+1>0$, то есть $x>-1$.

Шаг 2. Замена. Пусть $y=7^x-6$. Тогда $|6-7^x|=|-y|=|y|$, и неравенство принимает вид $$|y|\le y\log_6(x+1).$$

Шаг 3. Разбор по знаку $y$.

Случай $y=0$ ($x=\log_76$): неравенство $0\le0$ верно всегда — это отдельная точка решения.

Случай $y>0$ (то есть $x>\log_76$): $|y|=y$, делим обе части на положительное $y$: $$1\le\log_6(x+1) \Rightarrow x+1\ge6 \Rightarrow x\ge5.$$ Поскольку $\log_76<1<5$, пересечение с $x>\log_76$ даёт просто $x\ge5$.

Случай $y<0$ (то есть $-1<x<\log_76$): $|y|=-y$, неравенство $-y\le y\log_6(x+1)$. Перенесём всё в одну сторону: $$-y-y\log_6(x+1)\le0 \Rightarrow y\bigl(1+\log_6(x+1)\bigr)\ge0.$$ Так как $y<0$, произведение неотрицательно только если второй множитель неположителен: $$1+\log_6(x+1)\le0 \Rightarrow \log_6(x+1)\le-1 \Rightarrow x+1\le\frac16 \Rightarrow x\le-\frac56.$$ С учётом $-1<x<\log_76$ и того, что $\log_76\approx0{,}92>-\frac56$, ограничение сверху не мешает, и решение случая: $-1<x\le-\dfrac56$.

Шаг 4. Объединение. Собираем все три случая: $$x\in\left(-1;-\frac56\right]\cup[5;+\infty)\cup\{\log_76\}.$$

Это и есть ответ. Обратите внимание: изолированная точка $\log_76$ появилась именно из случая $y=0$ — если пропустить этот случай (например, сразу делить на $y$), эта точка потеряется.

Типичные ошибки

• Забытая или неполная ОДЗ. Особенно легко упустить условие $x\ne1$ или условие положительности аргумента логарифма при упрощении выражения — тогда в ответ попадают посторонние точки.
• Неверное раскрытие $\lg a^2$. Часто пишут $\lg a^2 = 2\lg a$ без проверки знака $a$, хотя корректная формула — $\lg a^2 = 2\lg|a|$. Если знак $a$ на ОДЗ не гарантирован, это приводит к потере решений.
• Деление на выражение переменного знака без разбора случаев. Деление неравенства на $y$ или на $(x-1)$ без учёта того, что знак этого выражения меняется, — одна из самых частых ошибок; в примере 1 и 2 именно разбор по знаку даёт верный ответ.
• Потеря особой точки, где множитель равен нулю. В примере 2 случай $y=0$ даёт отдельную точку ответа — её легко пропустить, если сразу сокращать на $y$.
• Смешивание случаев ОДЗ и случаев разбора знака. Нужно чётко разделять: сначала находится ОДЗ (обязательное условие для существования выражения), затем внутри ОДЗ разбираются случаи знака для снятия модуля или деления.
• Ошибки при объединении ответов случаев. После разбора нескольких случаев решения нужно объединить через $\cup$, а не пересекать — это частая техническая ошибка при спешке.

На что обратить внимание на экзамене

На экзамене такие неравенства требуют времени и аккуратности — не стоит спешить с формальными преобразованиями, если не выписана ОДЗ. Хороший порядок действий: сначала полностью выписать ОДЗ на черновике, затем искать скрытую структуру (совпадающие или симметричные выражения под разными знаками), и только после этого приступать к разбору случаев.

При оформлении решения стоит явно указывать, на какие случаи разбивается ОДЗ и почему (например, «рассмотрим $x>1$ и $x<1$ отдельно, так как модуль раскрывается по-разному»). Это не только помогает не запутаться, но и приносит баллы за полноту решения — эксперты ЕГЭ ценят прозрачную логику перехода между случаями.

Перед записью финального ответа полезно подставить одну-две контрольные точки из полученных промежутков в исходное неравенство — это быстрый способ проверить, не закралась ли ошибка при упрощении. Также стоит отдельно проверить границы промежутков (точки, где выражение равно нулю или где меняется знак модуля) — именно они чаще всего либо включаются, либо исключаются неверно. И, наконец, не забывайте объединять решения по всем рассмотренным случаям и пересекать итоговое множество с ОДЗ — только тогда ответ будет полным и верным.