Задание 15 ЕГЭ: неравенства с радикалами — алгоритм и разбор

О чём эта подтема

В задании 15 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются неравенства, где переменная стоит под знаком корня — в числителе, в знаменателе дроби, а иногда и в обоих одновременно. Такие неравенства называют иррациональными: в них нельзя просто перенести слагаемые и решить как обычное алгебраическое неравенство — сначала нужно разобраться с областью допустимых значений (ОДЗ), а затем аккуратно избавиться от радикалов, не потеряв и не приобретя лишних решений.

Сложность подтемы не в самих корнях, а в том, что при возведении в степень или при делении на выражение с переменной легко нарушить равносильность преобразований. Задания с радикалами в 15-м номере часто содержат «ловушки»: точки, где знаменатель обращается в ноль, точки, где обе части равны нулю одновременно, и случаи, когда знак множителя меняется в зависимости от $x$.

Освоив эту тему, вы получаете универсальный алгоритм, применимый почти ко всем неравенствам с радикалами: выделить ОДЗ, свести неравенство к рациональному через замену или свойства корней, решить методом интервалов и вернуться к исходной переменной с учётом ОДЗ.

Что нужно знать

1. Область допустимых значений. Подкоренное выражение любого корня чётной степени должно быть неотрицательным: $\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x)\ge 0$. Если корень стоит в знаменателе дроби, требование усиливается: $f(x)>0$.

2. Извлечение корня из квадрата. $\sqrt{g(x)^2}=|g(x)|$, а не $g(x)$. Забывание модуля — одна из самых частых ошибок. В частности, $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.

3. Объединение корней в один. Если $A\ge0$ и $B\ge0$, то $\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}=\sqrt{AB}$, а $\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}=\sqrt{\dfrac{A}{B}}$ при $B>0$. Это свойство удобно использовать «в обратную сторону»: свернуть произведение или частное двух корней в один, чтобы упростить структуру неравенства.

4. Равносильность при сравнении корней. Для $A\ge 0,\ B\ge 0$ верно: $\sqrt{A}<\sqrt{B} \iff A<B$; аналогично для нестрогих неравенств. Возводить в квадрат обе части можно только тогда, когда обе части неотрицательны — это обычно выполняется автоматически, если обе части — арифметические корни.

5. Замена переменной. Если в неравенстве повторяется одна и та же комбинация корней, полезно ввести замену $t=(\dots)$, свести неравенство к виду $t\cdot(\text{выражение}(x)) \ge 0$ и рассмотреть случаи $t=0$ и $t>0$ отдельно.

6. Метод интервалов для рациональных неравенств вида $\dfrac{P(x)}{Q(x)}\ge 0$ остаётся основным инструментом после того, как радикалы устранены.

Больше никаких специальных формул для этой подтемы не требуется — весь успех строится на аккуратности при работе с ОДЗ и на грамотном сведении иррационального неравенства к рациональному.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Найти ОДЗ. Выписать все условия: подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели (в том числе содержащие корни) не равны нулю. Если корень стоит в знаменателе дроби, требуйте строгую положительность подкоренного выражения.

Шаг 2. Упростить выражения под корнями. Свернуть полные квадраты через модуль, разложить многочлены на множители, объединить произведения или частные корней в один корень там, где это законно.

Шаг 3. Привести неравенство к виду, где можно применить свойство сравнения корней или вынести общий множитель. Часто удобно перенести все члены в одну сторону и разложить на множители, либо умножить обе части на положительное выражение, чтобы объединить корни под одним знаком.

Шаг 4. Возвести в квадрат или раскрыть модуль, если обе части неотрицательны, получив рациональное неравенство относительно $x$ (или относительно введённой переменной $t$).

Шаг 5. Решить рациональное неравенство методом интервалов.

Шаг 6. Отдельно проверить граничные случаи, где вынесенный множитель или использованная переменная обращается в ноль — такие точки могут либо автоматически удовлетворять неравенству, либо требовать отдельного анализа.

Шаг 7. Пересечь полученное множество решений с ОДЗ и записать ответ, аккуратно указав включение или исключение граничных точек.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство $$\left(x+\frac{3}{x}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2-6x+9}-1}{\sqrt{5-x}-1}\right)^2 \ge 4\left(\frac{\sqrt{x^2-6x+9}-1}{\sqrt{5-x}-1}\right)^2.$$

Шаг 1. ОДЗ. Под корнем $5-x\ge0\Rightarrow x\le5$. Знаменатель дроби $\sqrt{5-x}-1\ne0\Rightarrow x\ne4$. В скобке $x+\frac3x$ знаменатель $x\ne0$. Итого ОДЗ: $x\in(-\infty;5]\setminus\{0;4\}$.

Шаг 2. $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.

Шаг 3. Пусть $t=\left(\dfrac{|x-3|-1}{\sqrt{5-x}-1}\right)^2\ge0$. Неравенство переписывается как $$t\left(x+\frac3x-4\right)\ge0.$$

Шаг 4. Случай $t=0$. Это происходит при $|x-3|=1$, то есть $x=2$ или $x=4$. Но $x=4$ не входит в ОДЗ, значит остаётся $x=2$ — там неравенство $0\ge0$ верно всегда, независимо от второго множителя.

Шаг 5. Случай $t>0$. Решаем $$x+\frac3x-4\ge0 \iff \frac{(x-1)(x-3)}{x}\ge0.$$ Методом интервалов получаем $x\in(0;1]\cup[3;+\infty)$.

Шаг 6. Пересечение с ОДЗ ($x\le5$, $x\ne4$): $$(0;1]\cup[3;4)\cup(4;5].$$

Шаг 7. Объединяем со случаем $t=0$: $$x\in(0;1]\cup\{2\}\cup[3;4)\cup(4;5].$$

Это и есть ответ.

Пример 2. Решите неравенство $$\sqrt{7-x}<\frac{\sqrt{x^3-6x^2+14x-7}}{\sqrt{x-1}}.$$

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $x\le7$; знаменатель $\sqrt{x-1}$ должен быть строго положителен, значит $x>1$; и $x^3-6x^2+14x-7\ge0$ (проверим позже).

Шаг 2. Умножаем обе части на $\sqrt{x-1}>0$: $$\sqrt{7-x}\cdot\sqrt{x-1}<\sqrt{x^3-6x^2+14x-7}.$$

Шаг 3. Свернём произведение слева в один корень: $$\sqrt{(7-x)(x-1)}<\sqrt{x^3-6x^2+14x-7}.$$

Шаг 4. Возводим в квадрат (обе части неотрицательны): $$(7-x)(x-1)<x^3-6x^2+14x-7.$$ Раскрываем левую часть: $(7-x)(x-1)=-x^2+8x-7$. Переносим всё вправо: $$0<x^3-5x^2+6x=x(x-2)(x-3).$$

Шаг 5. Решаем $x(x-2)(x-3)>0$ методом интервалов: $x\in(0;2)\cup(3;+\infty)$.

Шаг 6. Проверим радиканд кубического многочлена: $$x^3-6x^2+14x-7=\big[-(x-1)(x-7)\big]+\big[x(x-2)(x-3)\big].$$ На $[1;7]$ первое слагаемое неотрицательно, а на найденном множестве второе положительно — значит сумма положительна, дополнительных ограничений нет.

Шаг 7. Пересекаем с ОДЗ $x\in(1;7]$: $$\big[(0;2)\cup(3;+\infty)\big]\cap(1;7] = (1;2)\cup(3;7].$$

Ответ: $(1;2)\cup(3;7]$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: свести к рациональному неравенству, решить методом интервалов, вернуться в ОДЗ, отдельно проверив подозрительные точки.

Типичные ошибки

• Забыть про строгость условия для корня в знаменателе. Если корень стоит в знаменателе дроби, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, а не просто неотрицательным.

• Потерять точки, где общий множитель равен нулю. Как в первом примере, точка $x=2$ автоматически удовлетворяет неравенству $\ge$, но легко «выпадает» из решения, если сразу делить обе части на общий множитель без рассмотрения случая, когда он равен нулю.

• Забыть исключить точку, где знаменатель обращается в ноль, даже если она формально удовлетворяет остальным условиям. В примере 1 точка $x=4$ даёт неопределённость $\frac{0}{0}$ и не входит в ОДЗ.

• Неправильно сворачивать произведение или частное корней в один корень. Свойство $\sqrt{A}\sqrt{B}=\sqrt{AB}$ работает только при $A\ge0$ и $B\ge0$; без проверки этого условия можно потерять или приобрести решения.

• Возводить в квадрат неравенство, не убедившись, что обе части неотрицательны. Если хотя бы одна часть может быть отрицательной, возведение в квадрат меняет структуру решения.

• Забывать пересекать финальный ответ с ОДЗ. Рациональное неравенство обычно имеет более широкое множество решений, чем допускает исходное иррациональное неравенство.

• Путать включённые и исключённые границы при переходе от строгих к нестрогим неравенствам — легко перепутать квадратные и круглые скобки в ответе.

На что обратить внимание на экзамене

Перед преобразованиями выпишите ОДЗ отдельной строкой на черновике — это экономит время и защищает от потери решений. Особое внимание — точкам, где несколько условий ОДЗ пересекаются (например, где числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю): такие точки часто становятся «ловушками» составителей.

Если в неравенстве есть общий множитель в чётной степени, не спешите делить на него обе части: сначала выделите его отдельно, рассмотрите случай, когда он равен нулю, отдельно от случая, когда он строго положителен. Это особенно важно при нестрогих неравенствах, где обращение множителя в ноль часто даёт «бесплатное» решение.

При объединении корней в один всегда фиксируйте, что оба подкоренных выражения неотрицательны на текущем участке ОДЗ — иначе равенство $\sqrt A\sqrt B=\sqrt{AB}$ может нарушиться.

После получения рационального неравенства проверяйте, не накладывает ли исходное условие дополнительных ограничений на ответ, либо убедитесь аналитически, что оно выполняется автоматически, как во втором примере.

Оформляя ответ, тщательно сверяйте каждую границу с исходными условиями ОДЗ: включена точка или исключена — и запишите ответ в виде объединения промежутков с правильными типами скобок. Проверка контрольной точки прямой подстановкой в исходное неравенство — быстрый способ убедиться в правильности решения.