Задание 15 ЕГЭ: показательные выражения и иррациональности в неравенствах

О чём эта подтема

В задании 15 профильного ЕГЭ часто встречаются неравенства, где под знаком корня стоит показательное выражение, а рядом — ещё один показательный множитель или разность. Такие задачи объединяют сразу два навыка: умение сворачивать показательное выражение заменой переменной и умение аккуратно работать с иррациональным неравенством (учитывать ОДЗ, знак подкоренного выражения, знак правой части).

Сложность не в «экзотике» метода, а в количестве условий, которые нужно удержать одновременно: область допустимых значений корня, знак множителя перед корнем или знак правой части неравенства, и правильный обратный переход от новой переменной к $x$. Если пропустить хотя бы один случай — потеряется часть ответа или появятся лишние корни.

Что нужно знать

1. Свойства показательной функции. Функция $a^x$ при $a>1$ строго возрастает, при $0<a<1$ строго убывает, и для любого $x$ значение $a^x>0$. Это значит, что при замене $t=a^x$ всегда нужно писать ограничение $t>0$.

2. Стандартные замены. Если в неравенстве встречаются степени с одним и тем же основанием, но разными показателями (например, $3^x$, $3^{x+1}$, $9^x=(3^x)^2$, $3^{x/2}=\sqrt{3^x}$), всё сводится к одной переменной $t=a^{x}$ (или $t=a^{x/2}$ — зависит от того, какая степень «самая мелкая» в задаче). Важно выразить все остальные степени через неё: $$a^{2x}=t^2,\qquad a^{x+k}=t\cdot a^k,\qquad a^{x/2}=\sqrt{t}.$$

3. Правила работы с корнем. Для выражения $\sqrt{f(x)}$ обязательна область допустимых значений: $f(x)\ge 0$. Значение корня всегда неотрицательно: $\sqrt{f(x)}\ge 0$.

4. Неравенство вида $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$. Это неравенство равносильно совокупности двух систем: $$\left[\begin{array}{l}\begin{cases} g(x)<0,\\ f(x)\ge 0;\end{cases}\\[2mm] \begin{cases} g(x)\ge 0,\\ f(x)\ge g(x)^2.\end{cases}\end{array}\right.$$ При $g(x)<0$ корень (неотрицательный по определению) автоматически больше отрицательного числа, поэтому достаточно только ОДЗ. При $g(x)\ge 0$ обе части неотрицательны, и неравенство можно возводить в квадрат без потери равносильности.

5. Неравенство вида $h(x)\cdot\sqrt{f(x)}\ge 0$ (произведение множителя на корень). Такое неравенство распадается по знаку множителя $h(x)$ и по тому, равен корень нулю или положителен:

• если $\sqrt{f(x)}=0$ (то есть $f(x)=0$), произведение равно нулю — неравенство выполняется при любом $h(x)$;
• если $\sqrt{f(x)}>0$ (то есть $f(x)>0$), знак произведения совпадает со знаком $h(x)$, значит нужно $h(x)\ge 0$.

6. Квадратные неравенства. После замены почти всегда возникает квадратное неравенство относительно $t$ — нужно уверенно решать его через дискриминант и разложение на множители, а также помнить про знак старшего коэффициента при определении промежутков.

7. Обратный переход. Финальный шаг — решить показательные неравенства и уравнения вида $a^{x}\le c$, $a^x=c$ относительно $x$ через логарифмы: $x\le\log_a c$ (при $a>1$), учитывая направление неравенства при $0<a<1$.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить общее основание степени и ввести замену $t=a^{x}$ или $t=a^{x/2}$ так, чтобы все степени в неравенстве выразились через $t$ без дробных или отрицательных показателей у переменной $x$.

2. Переписать неравенство и ОДЗ полностью в терминах $t$, не забыв обязательное условие $t>0$.

3. Найти ОДЗ по $t$ — решить неравенство, стоящее под корнем, $f(t)\ge 0$.

4. Определить тип неравенства: либо это сравнение корня с числом/выражением ($\sqrt{f(t)}\ge g(t)$), либо это произведение множителя на корень ($h(t)\cdot\sqrt{f(t)}\ge 0$). От типа зависит, какую схему разбиения на случаи применять (см. пункты 4 и 5 из раздела «Что нужно знать»).

5. Разобрать все случаи, решить получившиеся квадратные (или более простые) неравенства относительно $t$, пересечь с ОДЗ.

6. Объединить решения по $t$ в общий числовой промежуток(и), не забыв про условие $t>0$.

7. Вернуться к переменной $x$, решив показательные неравенства/уравнения $a^{x}\le t_0$, $a^x=t_0$ и т.д.

8. Записать ответ в виде объединения промежутков и/или отдельных точек по $x$.

Разбор примера

Пример 1

Решить неравенство: $$\left(3^{\frac{x-2}{2}}-1\right)\sqrt{3^x-10\sqrt{3^x}+9}\ge 0.$$

Шаг 1. Замена. Заметим, что под корнем стоит $\sqrt{3^x}=3^{x/2}$, а первый множитель содержит показатель $\frac{x-2}{2}=\frac{x}{2}-1$. Значит, естественная замена — $t=3^{x/2}$, где $t>0$. Тогда: $$3^x=t^2,\qquad \sqrt{3^x}=t,\qquad 3^{\frac{x-2}{2}}=3^{x/2}\cdot3^{-1}=\frac{t}{3}.$$

Шаг 2. Переписываем неравенство. $$\left(\frac{t}{3}-1\right)\sqrt{t^2-10t+9}\ge 0,\qquad t>0.$$ Подкоренное выражение раскладывается на множители: $t^2-10t+9=(t-1)(t-9)$.

Шаг 3. ОДЗ. Нужно $(t-1)(t-9)\ge 0$, откуда $t\le 1$ или $t\ge 9$. С учётом $t>0$: $0<t\le1$ или $t\ge9$.

Шаг 4. Разбор случаев (произведение множителя на корень).

Случай А: корень равен нулю. Это происходит при $t=1$ или $t=9$ — тогда всё произведение равно $0$, неравенство $\ge 0$ выполняется независимо от знака первого множителя. Значит, $t=1$ и $t=9$ входят в решение.

Случай Б: корень строго положителен. Это выполняется на ОДЗ при $0<t<1$ или $t>9$. Тогда знак произведения определяется знаком $\frac{t}{3}-1=\frac{t-3}{3}$, и нужно $\dfrac{t-3}{3}\ge 0$, то есть $t\ge 3$.

Пересекаем с $0<t<1$: пересечение пустое (там $t<1<3$). Пересекаем с $t>9$: так как $9>3$, всё множество $t>9$ подходит.

Шаг 5. Объединяем по $t$. Получаем $t=1$, или $t=9$, или $t>9$. Это то же самое, что $t=1$ или $t\ge 9$.

Шаг 6. Возврат к $x$.

При $t=1$: $3^{x/2}=1=3^0\Rightarrow \dfrac{x}{2}=0\Rightarrow x=0$.

При $t\ge9$: $3^{x/2}\ge 9=3^2$. Так как основание $3>1$, функция возрастает, значит $\dfrac{x}{2}\ge 2\Rightarrow x\ge4$.

Ответ: $\{0\}\cup[4;+\infty)$.

Пример 2

Решить неравенство: $$\sqrt{2\cdot9^x-7\cdot3^{x+1}+10}\ge 3^x-10.$$

Шаг 1. Замена. Пусть $t=3^x$, $t>0$. Тогда: $$9^x=t^2,\qquad 3^{x+1}=3t,\qquad 3^x=t.$$ Подкоренное выражение: $2t^2-21t+10$. Неравенство принимает вид: $$\sqrt{2t^2-21t+10}\ge t-10.$$

Шаг 2. ОДЗ. Нужно $2t^2-21t+10\ge0$. Дискриминант: $21^2-4\cdot2\cdot10=441-80=361=19^2$. Корни: $t=\dfrac{21\pm19}{4}$, то есть $t=10$ или $t=0{,}5$. Так как коэффициент при $t^2$ положителен, парабола отрицательна между корнями, значит ОДЗ: $t\le0{,}5$ или $t\ge10$ (с учётом $t>0$: $0<t\le0{,}5$ или $t\ge10$).

Шаг 3. Разбор по знаку правой части $g(t)=t-10$.

Случай А: $t<10$. Тогда правая часть отрицательна, а корень (там, где он определён) неотрицателен — неравенство выполняется автоматически, достаточно ОДЗ. На ОДЗ при $t<10$ остаётся только $0<t\le0{,}5$ (участок между $0{,}5$ и $10$ не входит в ОДЗ). Все эти $t$ — решения.

Случай Б: $t\ge10$. Здесь правая часть неотрицательна, и обе части можно возвести в квадрат: $$2t^2-21t+10\ge (t-10)^2=t^2-20t+100.$$ Переносим всё влево: $$2t^2-21t+10-t^2+20t-100\ge0 \;\Rightarrow\; t^2-t-90\ge0.$$ Дискриминант: $1+360=361=19^2$, корни $t=\dfrac{1\pm19}{2}$, то есть $t=10$ или $t=-9$. Неравенство $t^2-t-90\ge0$ выполняется при $t\le-9$ или $t\ge10$. Пересекаем с условием случая $t\ge10$ — подходит весь промежуток $t\ge10$ (он уже автоматически входит в ОДЗ).

Шаг 4. Объединяем по $t$. Из случая А: $0<t\le0{,}5$. Из случая Б: $t\ge10$. Итого: $0<t\le0{,}5$ или $t\ge10$.

Шаг 5. Возврат к $x$.

При $t\le0{,}5$: $3^x\le\dfrac12\Rightarrow x\le\log_3\dfrac12=-\log_3 2$ (используем убывание логарифма... на самом деле $3^x$ возрастает, поэтому неравенство сохраняет направление: $x\le\log_3(1/2)=-\log_3 2$).

При $t\ge10$: $3^x\ge10\Rightarrow x\ge\log_3 10$.

Ответ: $(-\infty;-\log_3 2]\cup[\log_3 10;+\infty)$.

Типичные ошибки

Забыть условие $t>0$. После замены $t=a^x$ школьники часто решают квадратное неравенство относительно $t$ и записывают ответ, включающий отрицательные значения $t$ или ноль — но такие значения физически недостижимы для показательной функции, их нужно сразу отбрасывать.

Потерять случай равенства корня нулю. В неравенствах вида «множитель умножить на корень $\ge 0$» многие сразу делят обе части на корень или рассматривают только случай строгого неравенства, забывая, что при $f(t)=0$ всё произведение равно нулю независимо от знака множителя, и эти точки — часть ответа.

Неверно определить ОДЗ до разбиения на случаи. Если сначала решать неравенство $\sqrt{f(t)}\ge g(t)$, не найдя ОДЗ, легко получить лишние точки: при $g(t)<0$ неравенство верно только там, где корень вообще существует, то есть только на ОДЗ, а не на всей числовой прямой.

Ошибка при возведении в квадрат. Возводить в квадрат обе части неравенства $\sqrt{f}\ge g$ можно только если заранее гарантировано $g\ge0$ — иначе возведение может развернуть или испортить неравенство. Всегда явно выделяйте случай $g<0$ отдельно.

Путаница при обратной замене. После нахождения промежутков для $t$ забывают, что переход к $x$ для убывающей показательной функции ($0<a<1$) меняет направление неравенства, а для возрастающей ($a>1$) — сохраняет. Также важно не перепутать $t=a^{x}$ и $t=a^{x/2}$ — от этого зависит итоговая формула для $x$.

Арифметические ошибки при разложении квадратного трёхчлена. Множители типа $(t-1)(t-9)$ или $t^2-t-90$ стоит всегда проверять подстановкой корней обратно в исходное выражение — цена ошибки высока, так как от знака зависит вся структура ответа.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как вводить замену, убедитесь, что все показательные выражения действительно сводятся к одному основанию и одной переменной — иначе замена не сработает и придётся искать другой подход. Выписывайте ОДЗ отдельной строкой и решайте его до того, как переходить к разбору знаков — это экономит время и снижает риск потери решений.

При работе с произведением «множитель $\times$ корень» всегда рассматривайте отдельно случай, когда корень равен нулю: это самый частый источник потери точек в ответе. При сравнении корня с выражением обязательно стройте два случая по знаку правой части и не смешивайте их в одну систему.

После нахождения решения по $t$ не забывайте пересечь его с условием $t>0$ и только затем переходить к $x$ — направление неравенства при обратном переходе зависит от того, больше единицы основание степени или меньше. В конце подставьте одно-два значения $x$ из полученного ответа в исходное неравенство для проверки — это позволяет быстро обнаружить ошибку в громоздких выкладках.