Логарифмические неравенства с переменным основанием: метод рационализации (задание 15)

О чём эта подтема

В задании 15 профильного ЕГЭ часто встречаются неравенства вида $\log_{f(x)}g(x) \vee \log_{f(x)}h(x)$ или $\log_{f(x)}g(x)\vee b$, где основание логарифма само зависит от $x$. Сложность в том, что знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам зависит от того, больше основание единицы или меньше. Формально это требует рассмотрения двух случаев: $f(x)>1$ и $0<f(x)<1$, что удваивает объём работы и повышает риск ошибки.

Метод рационализации (иногда называют «методом замены множителей») позволяет заменить сравнение логарифмов равносильным сравнением алгебраического выражения с нулём — без разбора случаев. Это резко ускоряет решение и снижает число технических ошибок, но требует аккуратной работы с областью определения и точного применения формул.

Что нужно знать

• ОДЗ логарифма. Для $\log_{f(x)}g(x)$ должно выполняться: $f(x)>0$, $f(x)\ne 1$, $g(x)>0$. Все базовые ограничения обязательно находятся до применения рационализации и пересекаются с итоговым решением.
• Монотонность. $\log_a x$ возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$. Именно эта двойственность и порождает необходимость рационализации.
• Основная формула рационализации. Для любого знака неравенства $\vee \in \{<,>,\le,\ge,=\}$ при выполнении ОДЗ: $$\log_{f(x)}g(x) \vee \log_{f(x)}h(x) \ \Leftrightarrow\ \bigl(g(x)-h(x)\bigr)\bigl(f(x)-1\bigr) \vee 0.$$ Это ключевой инструмент темы: сравнение логарифмов заменяется на сравнение произведения разности аргументов и множителя $(f-1)$ с нулём.
• Сравнение с числом. Если справа стоит число $b$, его нужно представить как логарифм по тому же основанию: $b=\log_{f(x)}\bigl(f(x)^b\bigr)$. Тогда: $$\log_{f(x)}g(x) \vee b \ \Leftrightarrow\ \bigl(g(x)-f(x)^b\bigr)\bigl(f(x)-1\bigr)\vee 0.$$
• Логарифмы с постоянным основанием. Если основание — число (не переменная), например 3, то знак $\log_3 N$ совпадает со знаком $(N-1)$: это частный случай общей формулы, где $f(x)-1$ заменяется на положительную константу (при основании больше 1) и поэтому не влияет на знак произведения.
• Переход к общему основанию. Если в неравенстве встречаются логарифмы по разным основаниям (одно из них переменное, другое постоянное), их нужно свести к одному основанию через формулу $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$ или через известные тождества (например, $\log_3(x+3)^2 = 2\log_3|x+3|$), чтобы получить выражение, к которому уже можно применить правило рационализации или прямое правило знака.
• Метод интервалов. После рационализации получается рациональное (алгебраическое) неравенство — решается стандартно, через разложение на множители и определение знаков на интервалах.

Как решать: метод и алгоритм

1. Найти ОДЗ. Выписать все условия: каждое основание $>0$ и $\ne1$, каждый аргумент логарифма $>0$. Решить систему неравенств — получить множество допустимых $x$.
2. Привести неравенство к стандартному виду. Если есть логарифмы с разными основаниями или числа, свести всё к сравнению двух логарифмов по одному и тому же (возможно переменному) основанию, либо к сравнению логарифма с числом.
3. Применить формулу рационализации. Заменить логарифмическое неравенство на равносильное произведение множителей, сравниваемое с нулём: $(g-h)(f-1)\vee 0$.
4. Решить полученное рациональное неравенство методом интервалов: разложить на множители, отметить нули на числовой прямой, определить знаки.
5. Пересечь решение с ОДЗ, найденным в шаге 1. Это обязательный шаг — рационализация не заменяет ОДЗ, она только упрощает саму логарифмическую часть.
6. Записать ответ в виде объединения промежутков, аккуратно проверив открытость/закрытость границ (границы ОДЗ всегда исключаются, если условие строгое; границы самого неравенства — по знаку исходного неравенства).

Важно понимать: рационализация — это тождественное преобразование именно логарифмического выражения, а не способ обойти проверку области определения. Ошибка большинства школьников — забыть про ОДЗ после красивой замены.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство $$\log_{\frac{25-x^2}{16}}\left(\frac{24+2x-x^2}{14}\right) > 1.$$

Шаг 1. ОДЗ. Обозначим $f(x)=\dfrac{25-x^2}{16}$ (основание) и $g(x)=\dfrac{24+2x-x^2}{14}$ (аргумент).

• $f(x)>0$: $25-x^2>0 \Rightarrow x\in(-5,5)$.
• $f(x)\ne 1$: $25-x^2\ne16 \Rightarrow x^2\ne9 \Rightarrow x\ne\pm3$.
• $g(x)>0$: $24+2x-x^2>0 \Rightarrow x^2-2x-24<0 \Rightarrow (x-6)(x+4)<0 \Rightarrow x\in(-4,6)$.

Пересечение даёт ОДЗ: $x\in(-4,-3)\cup(-3,3)\cup(3,5)$.

Шаг 2. Приведение к стандартному виду. Число 1 представим как $\log_{f(x)}f(x)$, тогда неравенство равносильно $\log_{f(x)}g(x) > \log_{f(x)}f(x)$.

Шаг 3. Рационализация. По формуле $(g-f)(f-1)>0$: $$\left(\frac{24+2x-x^2}{14}-\frac{25-x^2}{16}\right)\left(\frac{25-x^2}{16}-1\right)>0.$$

Второй множитель: $\dfrac{25-x^2}{16}-1=\dfrac{9-x^2}{16}$.

Первый множитель приводим к общему знаменателю 224: $$\frac{16(24+2x-x^2)-14(25-x^2)}{224}=\frac{384+32x-16x^2-350+14x^2}{224}=\frac{-2x^2+32x+34}{224}.$$

Разложим числитель: $-2x^2+32x+34=-2(x^2-16x-17)=-2(x-17)(x+1)$.

Поскольку знаменатели 224 и 16 положительны, знак произведения совпадает со знаком $$\bigl[-2(x-17)(x+1)\bigr]\cdot\bigl[9-x^2\bigr] = \bigl[-2(x-17)(x+1)\bigr]\cdot\bigl[-(x-3)(x+3)\bigr] = 2(x-17)(x+1)(x-3)(x+3).$$

Требуем $2(x-17)(x+1)(x-3)(x+3)>0$, то есть $(x-17)(x+1)(x-3)(x+3)>0$.

Шаг 4. Решение на ОДЗ. На всём ОДЗ $x<5$, поэтому $x-17<0$ всегда. Значит, неравенство равносильно $(x+1)(x-3)(x+3)<0$ (разделили на отрицательный множитель, знак сменился).

Корни: $-3,-1,3$. Определяем знаки на интервалах:

• $x<-3$: все три множителя отрицательны → произведение отрицательно (подходит).
• $-3<x<-1$: $(x+3)>0$, остальные отрицательны → произведение положительно (не подходит).
• $-1<x<3$: $(x+1)>0,(x+3)>0,(x-3)<0$ → произведение отрицательно (подходит).
• $x>3$: все положительны → произведение положительно (не подходит).

Получаем $x\in(-\infty,-3)\cup(-1,3)$.

Шаг 5. Пересечение с ОДЗ $(-4,-3)\cup(-3,3)\cup(3,5)$: $$(-\infty,-3)\cap\text{ОДЗ} = (-4,-3),\qquad (-1,3)\cap\text{ОДЗ} = (-1,3).$$

Ответ: $(-4,-3)\cup(-1,3)$.

Пример 2. Решите неравенство $$(x-1)\cdot \log_{x+3}(x+2)\cdot \log_3(x+3)^2 \le 0.$$

Шаг 1. ОДЗ. Основание $x+3>0$ и $x+3\ne1$ (т.е. $x>-3$, $x\ne-2$); аргумент $x+2>0$ (т.е. $x>-2$); выражение $(x+3)^2>0$ выполняется всюду, кроме $x=-3$ (уже исключено). Итог: $x>-2$ (условие $x\ne-2$ автоматически учтено строгим неравенством).

Шаг 2. Приведение к одному основанию. Преобразуем произведение логарифмов через переход к основанию 3: $$\log_{x+3}(x+2)=\frac{\log_3(x+2)}{\log_3(x+3)}.$$ Так как на ОДЗ $x+3>0$, то $\log_3(x+3)^2=2\log_3(x+3)$. Подставляем: $$\log_{x+3}(x+2)\cdot\log_3(x+3)^2=\frac{\log_3(x+2)}{\log_3(x+3)}\cdot 2\log_3(x+3)=2\log_3(x+2).$$

Неравенство упрощается до: $$(x-1)\cdot 2\log_3(x+2)\le 0 \ \Leftrightarrow\ (x-1)\log_3(x+2)\le 0.$$

Шаг 3. Рационализация. Основание 3 постоянно и больше 1, поэтому знак $\log_3(x+2)$ совпадает со знаком $\bigl((x+2)-1\bigr)=(x+1)$ (это частный случай общей формулы, где множитель $(f-1)=(3-1)=2>0$ не меняет знак). Значит, неравенство равносильно: $$(x-1)(x+1)\le 0.$$

Шаг 4. Решение. $(x-1)(x+1)\le0 \Rightarrow x\in[-1,1]$.

Шаг 5. Пересечение с ОДЗ $x>-2$: интервал $[-1,1]$ целиком лежит в области определения.

Ответ: $[-1,1]$.

Типичные ошибки

• Забывают про ОДЗ. После рационализации решают только алгебраическое неравенство и не пересекают с областью определения — теряют или, наоборот, приобретают лишние точки.
• Неверно применяют формулу рационализации — путают порядок вычитания (пишут $(h-g)$ вместо $(g-h)$) или забывают множитель $(f-1)$.
• Не приводят логарифмы к общему основанию перед рационализацией, когда в выражении несколько разных оснований (переменное и постоянное) — пытаются рационализировать «напрямую», что даёт неверный результат.
• Неправильно раскрывают $\log(x+3)^2$, забывая про модуль: корректно $\log_3(x+3)^2=2\log_3|x+3|$, и только на части ОДЗ, где $x+3>0$, это равно $2\log_3(x+3)$.
• Ошибки при делении неравенства на выражение переменного знака (как $(x-17)$ в примере 1) — забывают, что при делении на отрицательное выражение знак неравенства меняется.
• Путают строгие и нестрогие границы при пересечении итогового решения с ОДЗ — например, включают точку, которая исключена ОДЗ.

На что обратить внимание на экзамене

• Всегда начинайте с ОДЗ и держите его отдельно записанным — оно понадобится в самом конце.
• После рационализации внимательно проверяйте, что все знаменатели, на которые вы умножаете обе части неравенства, положительны на ОДЗ (иначе знак может измениться, и придётся учитывать это отдельно).
• Если в задаче несколько логарифмов с разными основаниями, сначала сведите всё к единому основанию (через смену основания или через известные степенные тождества), а рационализацию применяйте уже к финальному, максимально простому выражению.
• Не забывайте отдельно указывать исключённые точки ОДЗ на итоговом числовом промежутке — даже если алгебраическое неравенство «даёт» более широкий интервал.
• Перед записью ответа перепроверьте пару контрольных точек из полученного интервала непосредственно в исходном неравенстве — это быстрый способ отловить ошибку в знаке или в формуле рационализации.
• Тренируйтесь узнавать стандартные заготовки: сравнение с числом через $\log_f f^b$, произведение логарифмов через переход к общему основанию, чтобы не терять время на экзамене при выводе формул с нуля.