Задание 15 ЕГЭ: неравенства с логарифмами и показательными выражениями

О чём эта подтема

Задание 15 профильного ЕГЭ — это неравенство повышенной сложности, где логарифмические и показательные выражения часто соединены в одной конструкции. Типичная задача требует не просто применить формулу, а сначала свернуть громоздкое выражение с помощью свойств логарифмов, затем ввести замену переменной для показательной части, решить получившееся алгебраическое неравенство и аккуратно вернуться к исходной переменной с учётом области допустимых значений (ОДЗ).

Особенность этой подтемы в том, что сложность обычно не в самой логике неравенства (метод интервалов, монотонность), а в технике: нужно грамотно свернуть сумму или разность логарифмов, правильно выделить показательную часть как новую переменную и не потерять условия ОДЗ. Экзаменационные задачи часто маскируют простую структуру под тяжёлые числа и степени, поэтому важно видеть за громоздкой записью стандартную схему.

Что нужно знать

Для решения неравенств этого типа достаточно уверенно владеть следующим набором фактов.

Свойства логарифмов (при условии положительности аргументов и оснований, отличных от 1): $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,\quad \log_a(x^n)=n\log_a x.$$

Полезно помнить и обратное действие — сворачивание суммы и разности логарифмов в один логарифм произведения или частного, а также приём: $$\log_a(ab)+\log_a\frac{a}{b}=\log_a\left(ab\cdot\frac{a}{b}\right)=\log_a(a^2).$$

Монотонность логарифма. Функция $\log_a t$ возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$. Это позволяет «снимать» логарифм с обеих частей неравенства: $$\log_a f(x) \gtrless \log_a g(x) \iff f(x)\gtrless g(x)\quad(a>1),$$ $$\log_a f(x) \gtrless \log_a g(x) \iff f(x)\lessgtr g(x)\quad(0<a<1).$$

ОДЗ логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго положителен, знаменатель дроби под логарифмом не должен обращаться в нуль. Если под логарифмом стоит произведение или частное, важно помнить, что произведение и частное двух отрицательных чисел тоже положительны — это может расширять ОДЗ.

Свойства показательной функции. Для любого основания $a>0$: $a^{f(x)}>0$ при любом $x$; функция возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$. Значение $a^{f(x)}$ удобно заменять новой переменной $t$, если оно встречается в разных местах неравенства.

Приём «число как логарифм». Любое число $k$ можно записать как $\log_a(a^k)$ — это позволяет привести обе части неравенства к одному основанию и затем сравнивать аргументы.

Решение квадратных и рациональных неравенств методом интервалов — техническая база, без которой не обойтись после замены переменной.

Как решать: метод и алгоритм

1. Выпишите ОДЗ. Найдите все ограничения: аргументы логарифмов положительны, знаменатели не равны нулю.

2. Упростите выражение. Сгруппируйте логарифмы с помощью свойств суммы и разности, сведите обе части неравенства к логарифмам одного основания (используя при необходимости запись числа как $\log_a(a^k)$).

3. Снимите логарифм, применяя монотонность: при основании больше 1 знак неравенства сохраняется, при основании от 0 до 1 — меняется на противоположный. Получаете алгебраическое неравенство относительно исходного выражения (часто относительно показательной функции).

4. Введите замену $t=a^{f(x)}$, если в неравенстве встречается показательное выражение. Обязательно укажите область значений новой переменной (например, $t>0$ или конкретный промежуток, если $f(x)$ ограничена).

5. Решите неравенство относительно $t$ — как правило, это квадратное или рациональное неравенство, которое удобно решать методом интервалов.

6. Вернитесь к переменной $x$. Подставьте обратно $t=a^{f(x)}$ и решите полученное неравенство относительно $x$ с учётом монотонности функции $a^{f(x)}$.

7. Пересеките результат с ОДЗ и запишите окончательный ответ, аккуратно определив, какие границы включаются, а какие исключаются.

Разбор примера

Пример 1

Нужно решить неравенство $$\log_2\Big((7^{-x^2}-3)(7^{16-x^2}-1)\Big)+\log_2\frac{7^{-x^2}-3}{7^{16-x^2}-1} > \log_2\big(7^{7-x^2}-2\big)^2.$$

Введём обозначения: $$a=7^{-x^2}-3,\qquad b=7^{16-x^2}-1,\qquad c=7^{7-x^2}-2.$$

Шаг 1. ОДЗ. Для первого логарифма нужно $ab>0$, для второго — $a/b>0$. Оба условия выполняются одновременно тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (и оба не равны нулю). Для правой части нужно $c\neq0$.

Шаг 2. Свёртка левой части. Используя свойства логарифма, $$\log_2(ab)+\log_2\frac{a}{b}=\log_2\left(ab\cdot\frac{a}{b}\right)=\log_2(a^2).$$

Неравенство принимает вид $\log_2(a^2) > \log_2(c^2)$.

Шаг 3. Снятие логарифма. Основание 2 больше 1, функция возрастает, поэтому $a^2>c^2$.

Шаг 4. Анализ знака $a$. Так как $x^2\ge0$, то $-x^2\le0$, значит $7^{-x^2}\in(0,1]$, откуда $$a=7^{-x^2}-3\in(-3,-2].$$ То есть $a$ всегда отрицательно.

Шаг 5. Условие на $b$. Поскольку $a<0$, из требования «$a$ и $b$ одного знака» следует $b<0$: $$7^{16-x^2}-1<0 \iff 7^{16-x^2}<1 \iff 16-x^2<0 \iff x^2>16.$$

Шаг 6. Проверка неравенства $a^2>c^2$. При $x^2>16$ величина $7^{-x^2}$ становится очень маленькой (меньше $7^{-16}$), поэтому $a$ близко к $-3$, а $$c=7^{7-x^2}-2=7^7\cdot 7^{-x^2}-2$$ близко к $-2$ (слагаемое $7^7\cdot 7^{-x^2}$ ничтожно мало). Формально: $$a^2-c^2=(a-c)(a+c),$$ $$a-c=-823542\cdot 7^{-x^2}-1<0,\qquad a+c=823544\cdot 7^{-x^2}-5<0$$ (второе выражение отрицательно, так как $7^{-x^2}<7^{-16}$ намного меньше $5/823544$). Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит $a^2>c^2$ выполняется на всём множестве $x^2>16$.

Ответ: $x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)$.

Главный урок примера — увидеть за громоздкой записью формулу $\log_a(ab)+\log_a(a/b)=\log_a(a^2)$ и не бояться больших степеней: они не требуют явного вычисления, если работать через знаки выражений.

Пример 2

Решим неравенство $$(2x+1)\log_5 10+\log_5\left(4^x-\frac1{10}\right)\le 2x-1.$$

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $4^x-\dfrac1{10}>0$, то есть $4^x>\dfrac1{10}$, откуда $x>\log_4\dfrac1{10}=-\log_4 10$.

Шаг 2. Приведение к одному логарифму. Заметим, что $(2x+1)\log_5 10=\log_5\left(10^{2x+1}\right)$. Тогда левая часть равна $$\log_5\left(10^{2x+1}\left(4^x-\frac1{10}\right)\right).$$ Раскроем скобку: $$10^{2x+1}\left(4^x-\frac1{10}\right)=10^{2x+1}\cdot4^x-10^{2x}=10^{2x}(10\cdot4^x-1).$$

Шаг 3. Правая часть как логарифм. Запишем $2x-1=\log_5\left(5^{2x-1}\right)$. Неравенство принимает вид $$\log_5\Big(10^{2x}(10\cdot4^x-1)\Big)\le\log_5\left(5^{2x-1}\right).$$

Шаг 4. Снятие логарифма. Основание 5 больше 1, значит $$10^{2x}(10\cdot4^x-1)\le5^{2x-1}.$$

Шаг 5. Упрощение. Разделим обе части на $5^{2x}>0$, учитывая $10^{2x}/5^{2x}=2^{2x}=4^x$: $$4^x(10\cdot4^x-1)\le\frac15.$$

Шаг 6. Замена переменной. Пусть $y=4^x>0$. Тогда $10y^2-y\le\dfrac15$, откуда $$50y^2-5y-1\le0.$$

Шаг 7. Решение квадратного неравенства. Корни уравнения: $y=\dfrac{5\pm\sqrt{25+200}}{100}=\dfrac{5\pm15}{100}$, то есть $y_1=\dfrac{1}{5}$, $y_2=-\dfrac{1}{10}$. Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-\dfrac1{10}\le y\le\dfrac15$. С учётом $y>0$ получаем $0<y\le\dfrac15$.

Шаг 8. Возврат к переменной $x$. Из $4^x\le\dfrac15$ следует $x\le\log_4\dfrac15=-\log_4 5$.

Шаг 9. Пересечение с ОДЗ. Учитывая $x>-\log_4 10$, получаем $$-\log_4 10<x\le-\log_4 5.$$

Ответ: $x\in(-\log_4 10;\,-\log_4 5]$.

Типичные ошибки

• Забывают про ОДЗ до преобразований. Если сразу сворачивать логарифмы, легко упустить случай, когда оба множителя отрицательны, но их произведение и частное всё равно положительны — область допустимых значений окажется шире, чем кажется на первый взгляд.

• Путают направление неравенства при снятии логарифма. Если основание меньше 1, знак неравенства меняется на противоположный; эту деталь легко упустить в спешке.

• Неправильно переводят число в логарифм. При записи $k=\log_a(a^k)$ важно использовать то же основание, что и у остальных логарифмов в неравенстве, иначе объединить части не получится.

• Забывают про область значений новой переменной. После замены $t=a^{f(x)}$ нужно помнить, что $t>0$ всегда, а иногда и более узкий промежуток — потеря этого условия приводит к лишним или потерянным решениям.

• Ошибки при обратной замене. Особенно если функция $t=a^{f(x)}$ не взаимно однозначна (например, зависит от $x^2$), важно аккуратно решить обратное неравенство относительно $x$.

• Арифметические просчёты с большими степенями. Вместо прямого вычисления чисел вроде $7^{16}$ или $7^7$ полезно работать со знаками выражений и свойствами степеней $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$.

• Неверное указание границ ответа. Нужно отдельно проверять, включаются ли граничные точки — это зависит от строгости неравенства и от того, обращается ли в этих точках в нуль какой-либо знаменатель или аргумент логарифма.

На что обратить внимание на экзамене

Начинайте решение с выписывания ОДЗ — это не формальность, а часть решения, которая часто отсекает большую часть числовой прямой ещё до содержательных преобразований. Ищите в структуре неравенства «готовые» пары логарифмов, которые можно свернуть в один — сумма и разность логарифмов одного основания почти всегда упрощают выражение до логарифма квадрата или произведения. Не бойтесь громоздких чисел в показателях степени: как правило, важен только их знак и взаимное соотношение, а не точное значение. При введении замены переменной сразу фиксируйте её область значений — это убережёт от появления посторонних решений. После решения неравенства относительно новой переменной обязательно возвращайтесь к исходному $x$ и пересекайте результат с ОДЗ. Если позволяет время, подставьте одно значение из полученного промежутка и одно вне его в исходное неравенство, чтобы проверить правильность знака и границ.