Задание 15: неравенства, рациональные относительно показательной функции

О чём эта подтема

В этом типе заданий неравенство внешне выглядит показательным, но если ввести замену $t = a^x$ (обычно $a$ — основание степени в условии), то относительно новой переменной $t$ получается обычное рациональное неравенство: дробно-рациональное или полиномиальное. Вся сложность распадается на два этапа: сначала аккуратно свести всё к одному основанию и сделать замену, потом — решить рациональное неравенство методом интервалов, и наконец — вернуться к исходной переменной $x$.

Такие задачи проверяют сразу несколько навыков: работу со свойствами степеней, технику решения дробно-рациональных неравенств и умение возвращаться от новой переменной к старой с учётом области допустимых значений. Это одна из самых предсказуемых по структуре подтем задания 15 — если отработать алгоритм, большинство вариантов решаются по одному и тому же шаблону.

Что нужно знать

Свойства степеней, без которых не свести выражение к одной переменной: $$a^{x+y} = a^x \cdot a^y, \qquad a^{-x} = \frac{1}{a^x}, \qquad (a^x)^k = a^{xk}.$$

Важно уметь распознавать, что, например, $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, а $5^{x+1} = 5\cdot 5^x$, $5^{1-x} = \dfrac{5}{5^x}$. Это ключевой шаг — привести все слагаемые к одному и тому же основанию и одной степени переменной.

Монотонность показательной функции. Функция $t = a^x$ строго возрастает при $a>1$ и строго убывает при $0<a<1$. Это гарантирует, что уравнение $a^x = t_0$ имеет ровно одно решение для любого $t_0>0$, и позволяет однозначно переводить неравенства вида $a^x > c$ или $a^x \le c$ в неравенства относительно $x$.

Область значений показательной функции. Для любого основания $a>0$, $a\ne1$, всегда $a^x > 0$. Это значит, что после замены $t=a^x$ обязательно нужно учитывать ограничение $t>0$ — это часть ОДЗ, про которую забывают чаще всего.

Метод интервалов для рациональных неравенств. Нужно уметь находить нули числителя и знаменателя дроби, расставлять их на числовой оси и определять знак выражения на каждом промежутке (проверкой знака в пробной точке или по кратности корней). Важно помнить: нули числителя включаются в ответ (если неравенство нестрогое), а нули знаменателя — никогда не включаются, так как в них выражение не определено.

Неравенство о среднем (AM–GM). Для $t>0$ верно $t + \dfrac{1}{t} \ge 2$, причём равенство достигается только при $t=1$. Эта оценка иногда напрямую решает задачу без громоздкого разбора случаев — как в первом примере ниже.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить общее основание. Посмотреть на все степени в неравенстве и понять, к какому общему основанию их можно привести (обычно оно явно присутствует в условии).

2. Преобразовать все слагаемые так, чтобы каждое выражалось через степень $t = a^x$ (используя свойства степеней: $a^{kx}=(a^x)^k$, $a^{x+c}=a^c\cdot a^x$, $a^{-x}=1/a^x$).

3. Сделать замену $t = a^x$, обязательно зафиксировав условие $t>0$.

4. Решить получившееся рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов: перенести всё в одну сторону, привести к общему знаменателю, разложить числитель и знаменатель на множители, найти нули, расставить знаки.

5. Учесть ограничение $t>0$, пересекая найденное множество решений с этим условием (если оно ещё не было учтено автоматически).

6. Вернуться к переменной $x$, решая неравенства вида $a^x > t_0$ или $a^x \le t_0$ с учётом монотонности функции $a^x$ (возрастание при $a>1$, убывание при $0<a<1$). Здесь появляются логарифмы, если границы промежутков не являются «удобными» степенями основания.

7. Записать ответ в виде объединения промежутков по $x$.

Особый случай — когда после замены удаётся свернуть выражение через симметричную комбинацию $u = t + 1/t$ (если в неравенстве есть слагаемые $t^n$ и $1/t^n$). Тогда полезно вспомнить, что $t^2+\dfrac{1}{t^2} = u^2-2$, а сама переменная $u$ ограничена снизу: $u\ge2$. Иногда этого достаточно, чтобы сразу получить единственное решение.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство $$25^{x} + 5^{x+1} + 5^{1-x} + \frac{1}{25^{x}} \le 12.$$

Шаг 1. Приводим к одному основанию. Заметим, что $$25^x = (5^x)^2, \qquad 5^{x+1} = 5\cdot 5^x, \qquad 5^{1-x} = \frac{5}{5^x}, \qquad \frac{1}{25^x} = \frac{1}{(5^x)^2}.$$

Шаг 2. Замена. Пусть $t = 5^x$, $t>0$. Неравенство принимает вид $$t^2 + 5t + \frac{5}{t} + \frac{1}{t^2} \le 12.$$

Шаг 3. Группировка через симметричную сумму. Введём $u = t + \dfrac{1}{t}$. Тогда $$t^2 + \frac{1}{t^2} = u^2 - 2, \qquad 5t + \frac{5}{t} = 5u.$$ Подставляем: $$u^2 - 2 + 5u \le 12 \quad\Longrightarrow\quad u^2 + 5u - 14 \le 0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное неравенство. Дискриминант: $D = 25+56=81$, корни $u = \dfrac{-5\pm9}{2}$, то есть $u_1 = 2$, $u_2 = -7$. Значит, $$-7 \le u \le 2.$$

Шаг 5. Учитываем ограничение на $u$. По неравенству о среднем для $t>0$ всегда $u = t+\dfrac1t \ge 2$, причём равенство достигается ровно при $t=1$. Значит, условие $u\le2$ вместе с $u\ge2$ оставляет единственную возможность: $u=2$.

Шаг 6. Находим $t$, затем $x$. Из $u=2$ следует $t=1$, то есть $5^x = 1$, откуда $x=0$.

Ответ: $\{0\}$.

Пример 2. Решите неравенство $$\frac{2}{5^{x}-1} + \frac{5^{x}-2}{5^{x}-3} \ge 2.$$

Шаг 1. Замена. Пусть $t = 5^x$, $t>0$, $t\ne1$, $t\ne3$ (иначе знаменатели обращаются в нуль). Неравенство: $$\frac{2}{t-1} + \frac{t-2}{t-3} \ge 2.$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону и приводим к общему знаменателю $(t-1)(t-3)$: $$\frac{2(t-3) + (t-2)(t-1) - 2(t-1)(t-3)}{(t-1)(t-3)} \ge 0.$$

Шаг 3. Раскрываем скобки в числителе. $$2(t-3) = 2t-6,$$ $$(t-2)(t-1) = t^2 - 3t + 2,$$ $$2(t-1)(t-3) = 2(t^2-4t+3) = 2t^2 - 8t + 6.$$ Сумма: $(2t-6) + (t^2-3t+2) - (2t^2-8t+6) = -t^2 + 7t - 10$.

Шаг 4. Раскладываем на множители. $-t^2+7t-10 = -(t-2)(t-5)$. Неравенство: $$\frac{-(t-2)(t-5)}{(t-1)(t-3)} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(t-2)(t-5)}{(t-1)(t-3)} \le 0.$$

Шаг 5. Метод интервалов. Нули числителя: $t=2$, $t=5$ (включаются, так как неравенство нестрогое). Нули знаменателя: $t=1$, $t=3$ (исключаются). Расставляем точки по возрастанию: $1, 2, 3, 5$. Проверяя знак выражения на каждом промежутке (например, подставляя пробные точки $t=0,\,1.5,\,2.5,\,4,\,6$), получаем, что дробь отрицательна или равна нулю на промежутках $$t \in (1, 2] \cup (3, 5].$$

Шаг 6. Возвращаемся к $x$. Используем возрастание функции $5^x$:

• $t>1 \Rightarrow x>0$;
• $t\le 2 \Rightarrow x\le \log_5 2$;
• $t>3 \Rightarrow x>\log_5 3$;
• $t\le5 \Rightarrow x\le1$.

Следовательно, $$x \in (0, \log_5 2] \cup (\log_5 3, 1].$$

Ответ: $(0;\log_5 2] \cup (\log_5 3; 1]$.

Типичные ошибки

Забытое ограничение $t>0$. После замены $t=a^x$ школьники часто решают чисто рациональное неравенство и включают в ответ отрицательные значения $t$ или ноль — это грубая ошибка, так как показательная функция никогда не принимает такие значения.

Потеря точек, где знаменатель равен нулю. При составлении общего знаменателя легко забыть исключить точки $t=1$ и $t=3$ (в примере 2) из ОДЗ, что приводит к неверному ответу с лишними точками.

Неверный перенос знаков при возведении в квадрат общего знаменателя. При раскрытии скобок вида $(t-2)(t-1)$ или переносе слагаемых часто теряются знаки — стоит проверять вычисления подстановкой контрольного значения.

Неправильный переход от неравенства для $t$ к неравенству для $x$. Если основание степени больше 1, знак неравенства сохраняется; если основание между 0 и 1 — знак меняется на противоположный. Эту деталь часто упускают, особенно в комбинированных заданиях с разными основаниями.

Забытые крайние точки при нестрогом неравенстве. Если неравенство нестрогое ($\le$ или $\ge$), нули числителя должны войти в ответ, а не быть случайно исключены при формальном переписывании интервалов.

Неверное применение неравенства о среднем. Утверждение $t+\dfrac1t\ge2$ верно только для $t>0$. Если в задаче не гарантировано положительное $t$, использовать эту оценку напрямую нельзя.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как вводить замену, обязательно проверьте, что все степени в неравенстве действительно можно выразить через одну и ту же переменную $t=a^x$ — иногда в условии специально маскируют разные основания (например, $4^x$ и $2^x$), и нужно сначала привести их к общему виду.

После решения рациональ­ного неравенства относительно $t$ всегда возвращайтесь к условию $t>0$ и пересекайте с ним полученное множество — это стандартный шаг, который нельзя пропускать.

При обратной замене внимательно следите за направлением неравенства: возрастающая функция сохраняет знак неравенства, убывающая — меняет его на противоположный. Если основание не указано явно, а получено после преобразований (например, $t=(1/3)^x$), не забудьте, что это убывающая функция.

В ответе, где границы промежутков выражаются через логарифмы (как во втором примере), не пытайтесь «округлить» или упростить их — оставляйте в точном виде $\log_a b$, так как это обычно и есть ожидаемый формат ответа.

Наконец, всегда делайте финальную проверку: подставьте одну точку из каждого найденного промежутка в исходное неравенство (не в преобразованное с заменой), чтобы убедиться, что она действительно удовлетворяет условию — это лучший способ поймать ошибку в цепочке преобразований.