Неравенства с тригонометрией в задании 15 ЕГЭ (профиль)

О чём эта подтема

Задание 15 профильного ЕГЭ по математике почти всегда объединяет несколько идей: логарифмы, показательные функции, иррациональные выражения и тригонометрию — всё в одном неравенстве. «Неравенства с тригонометрией» — это подтип, где тригонометрическая функция (обычно синус или косинус) стоит под логарифмом, под корнем или как аргумент сложной конструкции.

Сложность не в самой тригонометрии — уравнения и неравенства с $\sin x$, $\cos x$ здесь простые, школьного уровня. Настоящая сложность в том, что нужно:

• аккуратно найти область допустимых значений (ОДЗ), где участвует тригонометрическая функция;
• свести неравенство к алгебраическому через замену переменной (например, $t=\sin x$ или $t=\log_2(\sin x)$);
• решить алгебраическую часть, а затем перевести ответ обратно на тригонометрический язык — то есть решить простое тригонометрическое неравенство вида $\sin x \leq a$ или найти конкретные корни $\sin x = 0$.

Эта подтема проверяет умение работать с несколькими темами одновременно и не терять контроль над ОДЗ на каждом шаге.

Что нужно знать

Для решения таких неравенств достаточно ограниченного набора фактов — не нужно знать все тригонометрические формулы, важны только следующие:

1. Область значений синуса и косинуса. Всегда $-1\leq \sin x\leq 1$ и $-1\leq\cos x\leq 1$. Это критично, когда тригонометрическая функция стоит под логарифмом: раз $\log_a(\sin x)$ существует, нужно $\sin x>0$, а значит $0<\sin x\leq 1$.

2. Формулы двойного угла. $$\sin 2x = 2\sin x\cos x, \qquad \cos 2x = 1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1.$$ Эти формулы нужны, чтобы свести числитель или другую часть выражения к одной переменной — обычно к $\sin x$ или $\cos x$.

3. Основное тригонометрическое тождество. $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$ Применяется для замены $\cos^2 x$ на $1-\sin^2 x$ и наоборот — это часто позволяет получить полный квадрат.

4. Свойства логарифмов. Переход между основаниями: $$\log_4 y = \frac{\log_2 y}{2}, \qquad \log_{a}(y^n) = n\log_a y \ (y>0).$$ Это нужно, чтобы привести все логарифмы к одному основанию и одной переменной замены.

5. Решение простых тригонометрических неравенств. Нужно уметь по единичной окружности решать неравенства вида $\sin x \leq c$, $\sin x > c$ при $-1\leq c\leq 1$, а также находить точное множество решений уравнения $\sin x = 0$ (т.е. $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$).

6. Правило знака дроби. Дробь $\dfrac{P}{Q}\geq 0$ означает: либо $P\geq 0$ и $Q>0$, либо $P\leq0$ и $Q<0$. Знаменатель никогда не может быть равен нулю. Если удаётся доказать, что $P\leq 0$ всегда (например, через выделение полного квадрата), задача сводится к поиску $P=0$ при условии $Q>0$.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения тригонометрического неравенства в задании 15 почти всегда одинаков:

Шаг 1. Найти ОДЗ. Проверить все ограничения: аргументы логарифмов положительны, подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели не равны нулю. Именно на этом шаге появляется естественное ограничение вида $\sin x>0$ или $\cos x\neq 0$.

Шаг 2. Упростить выражение алгебраически. Использовать формулы двойного угла и основное тождество, чтобы свести всю тригонометрическую часть к одной переменной (обычно $\sin x$ или $\cos x$). Часто цель — выделить полный квадрат, который позволяет сразу определить знак выражения.

Шаг 3. Сделать замену переменной, если есть логарифмы или сложные степени. Ввести $t=\log_2(\sin x)$ или подобную замену, обязательно указав, какому множеству принадлежит $t$ с учётом ОДЗ (например, $t\leq 0$, так как $\sin x\leq 1$).

Шаг 4. Решить алгебраическое неравенство относительно новой переменной. Это обычно квадратное неравенство — находим корни через дискриминант, определяем знаки на интервалах.

Шаг 5. Вернуться к исходной переменной. Подставить обратно $t=\log_2(\sin x)$ (или другую замену) и получить неравенство вида $\sin x \leq a$ или $\sin x \geq a$.

Шаг 6. Решить тригонометрическое неравенство на единичной окружности, учитывая ограничения из ОДЗ (например, $\sin x>0$ ограничивает решение только верхней полуокружностью).

Шаг 7. Пересечь итоговый ответ с ОДЗ и оформить его в виде объединения промежутков через $2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Отдельный частый сценарий — когда после упрощения числитель дроби оказывается знаконепостоянным выражением вида $-4\sin^2 x(\cos x-1)^2$, то есть всегда неположительным. В этом случае неравенство $\geq 0$ решается только через равенство числителя нулю при условии, что знаменатель строго положителен. Такой приём стоит запомнить отдельно — он резко упрощает задачу.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство $$4\log_4^2(\sin^3 x) + 8\log_2(\sin x) \geq 1.$$

Шаг 1. ОДЗ. Логарифмы определены только при положительном аргументе, поэтому нужно $\sin^3 x>0$ и $\sin x>0$ — оба условия равносильны $\sin x>0$.

Шаг 2. Приведение к одному основанию. Используем переход к основанию 2: $$\log_4(\sin^3 x) = \frac{\log_2(\sin^3 x)}{2} = \frac{3\log_2(\sin x)}{2}.$$

Шаг 3. Замена переменной. Пусть $t=\log_2(\sin x)$. Так как $0<\sin x\leq 1$, то $t\leq 0$.

Тогда $$\log_4^2(\sin^3 x) = \left(\frac{3t}{2}\right)^2 = \frac{9t^2}{4}.$$

Подставляем в исходное неравенство: $$4\cdot\frac{9t^2}{4} + 8t \geq 1 \quad\Longrightarrow\quad 9t^2+8t-1\geq 0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное неравенство. Дискриминант: $$D = 64+36=100, \qquad \sqrt D = 10.$$ Корни: $$t_{1,2} = \frac{-8\pm 10}{18}, \qquad t_1=\frac{1}{9},\quad t_2=-1.$$ Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $9t^2+8t-1\geq0$ выполняется при $$t\leq -1 \quad\text{или}\quad t\geq \frac{1}{9}.$$

Шаг 5. Учитываем ограничение $t\leq 0$. Из двух промежутков остаётся только $t\leq -1$ (второй промежуток $t\geq 1/9$ противоречит $t\leq 0$).

Шаг 6. Возвращаемся к $\sin x$. Неравенство $\log_2(\sin x)\leq -1$ равносильно $\sin x \leq 2^{-1} = \dfrac12$ (логарифм по основанию больше 1 — монотонно возрастающая функция, знак неравенства сохраняется). С учётом ОДЗ имеем систему: $$0<\sin x \leq \frac12.$$

Шаг 7. Решаем на единичной окружности. Значения $\sin x = 1/2$ достигаются при $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$. Неравенство $0<\sin x\leq 1/2$ выполняется на дуге от $0$ (не включая) до $\pi/6$ включительно, а также от $5\pi/6$ включительно до $\pi$ (не включая), поскольку между $\pi/6$ и $5\pi/6$ синус больше $1/2$, а между $\pi$ и $2\pi$ синус отрицателен.

Ответ: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left(2\pi k;\ \frac{\pi}{6}+2\pi k\right] \cup \left[\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ \pi+2\pi k\right).$$

Пример 2. Решите неравенство $$\frac{4\sin x\sin 2x - \sin^2 2x - 4 + 4\cos^2 x}{\sqrt{16-2^{(x-5)^2}}} \geq 0.$$

Шаг 1. Упрощаем числитель. Заметим, что $4\cos^2 x - 4 = -4(1-\cos^2x)=-4\sin^2 x$. Тогда числитель равен $$4\sin x\sin 2x - \sin^2 2x - 4\sin^2 x.$$ Подставим $\sin 2x = 2\sin x\cos x$: $$4\sin x\cdot 2\sin x\cos x - 4\sin^2 x\cos^2 x - 4\sin^2 x = 8\sin^2 x\cos x - 4\sin^2x\cos^2 x - 4\sin^2 x.$$ Вынесем общий множитель $-4\sin^2 x$: $$-4\sin^2 x\left(\cos^2 x - 2\cos x + 1\right) = -4\sin^2 x(\cos x - 1)^2.$$

Получили ключевой результат: числитель равен $-4\sin^2 x(\cos x-1)^2$ — это произведение неотрицательных множителей со знаком «минус», значит числитель всегда $\leq 0$.

Шаг 2. Анализируем знаменатель. Знаменатель — квадратный корень, значит он должен быть определён и положителен (в знаменателе ноль недопустим): $$16 - 2^{(x-5)^2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad 2^{(x-5)^2} < 2^4 \quad\Longrightarrow\quad (x-5)^2<4.$$ Отсюда $-2<x-5<2$, то есть $$3<x<7.$$

Шаг 3. Собираем условие. Дробь $\dfrac{P}{Q}\geq0$ при $P\leq0$ и $Q>0$ возможна только при $P=0$ (иначе дробь строго отрицательна). Значит нужно решить $$-4\sin^2 x(\cos x-1)^2 = 0.$$ Это верно, если $\sin x=0$ или $\cos x = 1$. Но $\cos x=1$ влечёт $\sin x=0$ (это частный случай), поэтому всё условие сводится к $$\sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 4. Пересекаем с ОДЗ. Нужно $x=\pi n$ и $3<x<7$. Численно: $\pi\approx3.14$, $2\pi\approx6.28$, $3\pi\approx9.42$. В интервал $(3,7)$ попадают только $x=\pi$ и $x=2\pi$.

Ответ: $$\{\pi,\ 2\pi\}.$$

Типичные ошибки

Забывают про ОДЗ синуса под логарифмом. Если под логарифмом стоит $\sin x$, обязательное условие $\sin x>0$ — без него в конце можно получить лишние или невозможные значения переменной замены.

Теряют границу для новой переменной. Когда вводится $t=\log_2(\sin x)$, важно сразу зафиксировать, что $t\leq 0$ (так как $\sin x\leq 1$). Пропуск этого шага приводит к неверному отбору корней квадратного неравенства.

Неправильно переводят логарифм основания 4 в основание 2. Частая ошибка — забыть возвести показатель степени внутрь логарифма или ошибиться с коэффициентом $\dfrac12$ при переходе оснований.

Не проверяют знак знаменателя при неравенстве с дробью. Если после упрощения числителя оказывается, что он неотрицателен (или неположителен) всегда, легко забыть, что знаменатель обязан быть строго положительным (или отрицательным) — а не просто «определённым».

Ошибка в выделении полного квадрата. При упрощении тригонометрических выражений вида $a^2-2ab+b^2$ легко потерять знак или коэффициент — стоит подставлять частные значения угла для проверки правильности преобразования.

Неверный переход от неравенства для переменной замены к неравенству для синуса. Если $\log_2(\sin x)\leq -1$, то $\sin x\leq 1/2$, а не наоборот. Нужно помнить, что $\log_2$ — возрастающая функция, поэтому знак неравенства сохраняется, но важно не запутаться, какая часть неравенства к чему относится.

Неполный отбор корней на единичной окружности. При решении $\sin x\leq c$ забывают, что решение — это дуга, а не отдельные точки, и распределяют границы промежутков неверно (путают, где включать концы, где не включать).

На что обратить внимание на экзамене

При встрече с тригонометрическим неравенством в задании 15 сначала выпишите полностью ОДЗ — отдельно для каждого логарифма, корня и знаменателя, ещё до начала алгебраических преобразований. Это экономит время и предотвращает появление посторонних корней.

При упрощении тригонометрических выражений всегда пробуйте выделить полный квадрат или вынести общий множитель — часто задание специально сконструировано так, чтобы после преобразования получилось выражение постоянного знака (как в разобранном примере 2). Если такое выражение найдено, задача резко упрощается: неравенство сводится к уравнению с дополнительным условием на знаменатель.

При введении новой переменной обязательно фиксируйте её область значений, вытекающую из ОДЗ и области значений тригонометрической функции. Не переходите к решению квадратного (или иного алгебраического) неравенства, не записав это ограничение явно — потом легко забыть.

В конце обязательно проверяйте: пересекается ли итоговый ответ с исходной ОДЗ, и правильно ли расставлены знаки включения/исключения границ на окружности (круглая или квадратная скобка). Малейшая ошибка здесь снижает баллы даже при верном методе решения.

Наконец, оформляйте окончательный ответ через объединение по параметру $k\in\mathbb{Z}$ (или конкретный список решений, если их конечное число, как во втором примере) — эксперт проверяет именно точность формы записи ответа.