Задание 15 ЕГЭ: неравенства с модулем — метод и разбор примеров

О чём эта подтема

В задании 15 профильного ЕГЭ часто встречаются неравенства, где модуль стоит не сам по себе, а внутри дробно-рациональной конструкции — вместе с суммой или разностью дробей вида $\frac{1}{x+a}$, возведёнными в квадрат. Такие неравенства выглядят громоздко, но за внешней сложностью скрывается стандартная схема: упростить левую часть до квадрата одной дроби, заметить совпадение знаменателей слева и справа, сократить их и получить простое неравенство с модулем от квадратного трёхчлена. Дальше это уже классическая задача на снятие модуля и решение квадратных неравенств.

Эта подтема проверяет одновременно три навыка: работу с алгебраическими дробями (приведение к общему знаменателю, разложение на множители), понимание свойств модуля и аккуратность с областью допустимых значений. Именно ОДЗ чаще всего становится причиной потери баллов, поэтому ей стоит уделить отдельное внимание на каждом шаге.

Что нужно знать

Определение модуля. Для любого числа $a$: $$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$$ Отсюда следует важное тождество, которое чаще всего и используется в таких задачах: $$|a|^2 = a^2 \quad \text{для любого } a.$$

Снятие модуля в неравенствах. Пусть $b > 0$. Тогда: $$|f(x)| \le b \iff -b \le f(x) \le b,$$ $$|f(x)| \ge b \iff f(x) \ge b \ \text{или} \ f(x) \le -b.$$ В разбираемых примерах после упрощения появляется именно неравенство вида $|f(x)| \ge c$, где $c$ — положительное число, поэтому оно распадается на два независимых квадратных неравенства.

Работа с алгебраическими дробями. Нужно уметь:

• приводить разность дробей $\dfrac{1}{x+a} - \dfrac{1}{x+b}$ к общему знаменателю: $\dfrac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} = \dfrac{b-a}{(x+a)(x+b)}$;
• раскладывать квадратный трёхчлен на множители: $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$;
• видеть, что $\left(\dfrac{k}{(x+a)(x+b)}\right)^2 = \dfrac{k^2}{(x+a)^2(x+b)^2}$, и что знаменатель совпадает с квадратом знаменателя в правой части исходного неравенства.

ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если в условии встречаются выражения $(x+a)^{-1}$, это то же самое, что $\dfrac{1}{x+a}$, и требует $x \ne -a$. Все такие точки нужно исключить из ответа независимо от того, что покажет решение неравенства.

Решение квадратных неравенств. Стандартный метод интервалов: находим корни через дискриминант $D = b^2-4ac$, отмечаем их на числовой прямой и определяем знак трёхчлена на каждом промежутке. Особый случай — полный квадрат: $(x-x_0)^2 \le 0$ имеет единственное решение $x=x_0$, а $(x-x_0)^2 \ge 0$ выполняется всегда, кроме, возможно, точек ОДЗ.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Найти ОДЗ. Выписать все значения $x$, при которых какой-либо знаменатель обращается в ноль, и исключить их из ответа.

Шаг 2. Упростить левую часть. Если слева стоит разность обратных величин в квадрате, привести дроби внутри скобки к общему знаменателю, получить одну дробь и возвести её в квадрат.

Шаг 3. Разложить знаменатель справа на множители. Обычно квадратный трёхчлен в знаменателе правой части раскладывается на те же множители, что и знаменатель слева (после приведения к общему знаменателю). Это ключевой момент — именно ради этого совпадения задача и построена.

Шаг 4. Сократить общий знаменатель. Поскольку квадрат любого ненулевого выражения строго положителен, знаменатели слева и справа равны и положительны на ОДЗ. Значит, можно умножить обе части неравенства на этот общий положительный знаменатель, не меняя знак неравенства, и перейти к неравенству между числителями.

Шаг 5. Получить неравенство вида $|f(x)| \ge c$ (или $\le c$). Здесь $f(x)$ — квадратный трёхчлен под модулем, $c$ — положительная константа.

Шаг 6. Раскрыть модуль по правилу. Для $|f(x)| \ge c$ решить два неравенства: $f(x) \ge c$ и $f(x) \le -c$, затем объединить решения.

Шаг 7. Решить каждое квадратное неравенство. Найти корни через дискриминант, определить знаки на интервалах.

Шаг 8. Объединить с ОДЗ. Из полученного множества решений вычесть точки, найденные в шаге 1 — даже если формально они попадают в найденный промежуток, их нужно выколоть.

Шаг 9. Записать ответ в виде объединения промежутков, аккуратно указав открытые и закрытые границы.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство $$\left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+6}\right)^2 \le \frac{|x^2-10x|}{(x^2+7x+6)^2}.$$

Шаг 1. ОДЗ. Знаменатели $x+1$ и $x+6$ не должны обращаться в ноль, поэтому $x \ne -1$ и $x \ne -6$. Заметим, что $x^2+7x+6 = (x+1)(x+6)$, то есть то же самое ограничение.

Шаг 2. Упрощение левой части. Приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+6} = \frac{(x+6)-(x+1)}{(x+1)(x+6)} = \frac{5}{(x+1)(x+6)}.$$ Возводим в квадрат: $$\left(\frac{5}{(x+1)(x+6)}\right)^2 = \frac{25}{(x+1)^2(x+6)^2}.$$

Шаг 3–4. Сравнение знаменателей и сокращение. Правая часть исходного неравенства: $$\frac{|x^2-10x|}{(x^2+7x+6)^2} = \frac{|x^2-10x|}{(x+1)^2(x+6)^2}.$$ Знаменатели совпадают и положительны на ОДЗ, поэтому неравенство равносильно (после умножения обеих частей на общий знаменатель): $$25 \le |x^2-10x|.$$

Шаг 5–6. Раскрытие модуля. Получаем два случая: $$x^2-10x \ge 25 \quad \text{или} \quad x^2-10x \le -25.$$

Первый случай: $x^2-10x-25 \ge 0$. Дискриминант: $D = 100+100=200$, корни $x = \dfrac{10 \pm \sqrt{200}}{2} = 5 \pm 5\sqrt2$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, неравенство выполняется вне корней: $$x \le 5-5\sqrt2 \quad \text{или} \quad x \ge 5+5\sqrt2.$$

Второй случай: $x^2-10x+25 \le 0$, то есть $(x-5)^2 \le 0$. Это возможно только при $x=5$.

Объединение: $(-\infty; 5-5\sqrt2] \cup \{5\} \cup [5+5\sqrt2; +\infty)$.

Шаг 8. Учёт ОДЗ. Численно $5-5\sqrt2 \approx -2{,}07$. Точка $x=-1$ больше этого числа, поэтому она не попадает в промежуток $(-\infty; 5-5\sqrt2]$ и её можно не исключать отдельно. А вот $x=-6 < -2{,}07$ входит в этот промежуток, поэтому её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (-6; 5-5\sqrt2] \cup \{5\} \cup [5+5\sqrt2; +\infty)$.

Пример 2. Решите неравенство $$\left(\frac{1}{-x+1} - \frac{1}{-x+4}\right)^2 \le \frac{|x^2+6x|}{(x^2-5x+4)^2}.$$

ОДЗ: $x \ne 1$, $x \ne 4$ (заметим $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$).

Упрощение левой части. Перепишем через положительные знаменатели: $-x+1 = -(x-1)$, $-x+4=-(x-4)$. Тогда $$\frac{1}{-(x-1)} - \frac{1}{-(x-4)} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1)-(x-4)}{(x-1)(x-4)} = \frac{3}{(x-1)(x-4)}.$$ В квадрате: $\dfrac{9}{(x-1)^2(x-4)^2}$.

Сокращение. Правая часть равна $\dfrac{|x^2+6x|}{(x-1)^2(x-4)^2}$, знаменатели совпадают, значит: $$9 \le |x^2+6x|.$$

Раскрытие модуля: $$x^2+6x \ge 9 \quad \text{или} \quad x^2+6x \le -9.$$

Первый случай: $x^2+6x-9\ge0$, $D=36+36=72$, корни $x=\dfrac{-6\pm\sqrt{72}}{2}=-3\pm3\sqrt2$. Решение: $x\le -3-3\sqrt2$ или $x\ge -3+3\sqrt2$.

Второй случай: $x^2+6x+9\le0 \Rightarrow (x+3)^2\le0 \Rightarrow x=-3$.

Объединение: $(-\infty; -3-3\sqrt2] \cup \{-3\} \cup [-3+3\sqrt2; +\infty)$.

Учёт ОДЗ. Численно $-3+3\sqrt2 \approx 1{,}24$. Точка $x=1$ меньше этого числа, поэтому она и так не входит в промежуток $[-3+3\sqrt2;+\infty)$ — исключать её отдельно не нужно. А точка $x=4$ больше $1{,}24$, значит попадает в этот промежуток и должна быть выколота.

Ответ: $(-\infty; -3-3\sqrt2] \cup \{-3\} \cup [-3+3\sqrt2; 4) \cup (4; +\infty)$.

Типичные ошибки

Забытая ОДЗ. Самая частая потеря баллов — не выписать ограничения на знаменатели в самом начале или забыть проверить, попадают ли выколотые точки в найденные промежутки решения. Проверка нужна в самом конце, когда границы промежутков уже вычислены численно.

Неверное раскрытие модуля. При переходе от $|f(x)| \ge c$ школьники иногда пишут только один случай или путают знаки: важно помнить, что решение состоит из объединения двух множеств, а не из системы.

Ошибки при возведении в квадрат. Иногда пытаются извлечь корень из обеих частей неравенства $|f(x)|\ge c$ вместо стандартного разбиения на случаи — это усложняет решение и повышает риск потери корней.

Неаккуратное разложение трёхчлена. Если знаменатель справа не совпал по виду со знаменателем слева, стоит перепроверить разложение на множители — почти всегда совпадение заложено в условии специально, и ошибка в разложении не даст упростить неравенство.

Потеря случая равенства нулю (полный квадрат). Выражения вида $(x-x_0)^2 \le 0$ дают единственную точку решения — её легко забыть при объединении множеств, а она входит в ответ отдельной фигурной скобкой.

Путаница со знаком при вынесении минуса. Во втором примере знаменатели содержат $-x+1$ и $-x+4$ — важно аккуратно вынести минус, иначе итоговая дробь получит неверный знак и все последующие вычисления собьются.

На что обратить внимание на экзамене

При оформлении решения на экзамене важно явно показать все шаги: нахождение ОДЗ, приведение дробей к общему знаменателю, обоснование сокращения одинаковых знаменателей (можно явно написать, что оба знаменателя положительны и равны), раскрытие модуля на два случая и решение каждого квадратного неравенства отдельно. Эксперт проверяет не только правильность ответа, но и логическую полноту цепочки рассуждений — пропуск обоснования сокращения дробей или неявное объединение случаев может стоить балла даже при верном итоговом ответе.

Особое внимание — численному сравнению корней (например, $5-5\sqrt2$) с выколотыми точками ОДЗ: часто именно на этом шаге теряются баллы, потому что легко ошибиться в оценке иррационального числа. Полезно всегда явно прописывать приближённое значение корня и сравнивать его с точками ОДЗ, чтобы не ошибиться при определении открытых/закрытых границ и выколотых точек в итоговом ответе.

Также стоит проверять финальную запись ответа: правильно расставленные скобки — квадратные для включённых границ, круглые для исключённых, и обязательно отдельная фигурная скобка для изолированных точек, полученных из полного квадрата.