Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

1. ОДЗ: $x\neq 0$.

2. Замечаем, что $9=3^{2}$, поэтому неравенство можно переписать как $\dfrac{3^{|x^{2}-2x-1|}-3^{2}}{x}\ge 0$.

3. Функция $3^{t}$ строго возрастает, значит знак разности $3^{t}-3^{2}$ полностью совпадает со знаком разности показателей $t-2$. Отсюда наше неравенство равносильно $\dfrac{|x^{2}-2x-1|-2}{x}\ge 0$.

4. Чтобы убрать модуль, умножим числитель на положительное выражение $|x^{2}-2x-1|+2>0$ — знак дроби от этого не изменится, а $(|A|-2)(|A|+2)=|A|^{2}-4=A^{2}-4$, где $A=x^{2}-2x-1$. Получаем $\dfrac{(x^{2}-2x-1)^{2}-4}{x}\ge 0$.

5. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $(x^{2}-2x-1-2)(x^{2}-2x-1+2)=(x^{2}-2x-3)(x^{2}-2x+1)$.

6. Разложим каждый множитель: $x^{2}-2x-3=(x+1)(x-3)$, а $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$. Неравенство принимает вид $\dfrac{(x+1)(x-3)(x-1)^{2}}{x}\ge 0$.

7. Множитель $(x-1)^{2}\ge 0$ всегда, поэтому при $x=1$ числитель равен нулю, а знаменатель $1\neq0$ — точка $x=1$ входит в решение независимо от знака остальной части.

8. Для остальных $x$ (кроме $x=1$) знак выражения определяется дробью $\dfrac{(x+1)(x-3)}{x}$, так как квадрат положителен. Отмечаем на числовой прямой точки $-1,0,3$ и определяем знаки методом интервалов:

• при $x<-1$: минус;
• при $-1<x<0$: плюс;
• при $0<x<3$: минус;
• при $x>3$: плюс.

Так как неравенство нестрогое, включаем точки, где числитель равен нулю ($x=-1,\,x=3$), но не $x=0$ (там знаменатель обращается в ноль).

9. Получаем решение базовой дроби: $x\in[-1;0)\cup[3;+\infty)$. Добавляя отдельно найденную точку $x=1$, получаем итоговый ответ.