Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Упростим левую часть. Приведём дроби $\frac{1}{-x+1}-\frac{1}{-x+4}$ к общему знаменателю: $$\frac{(-x+4)-(-x+1)}{(-x+1)(-x+4)}=\frac{3}{(x-1)(x-4)}=\frac{3}{x^2-5x+4}.$$ Возводя в квадрат, получаем левую часть неравенства равной $\dfrac{9}{(x^2-5x+4)^2}$.

Теперь неравенство принимает вид $$\frac{9}{(x^2-5x+4)^2}\le\frac{|x^2+6x|}{(x^2-5x+4)^2}.$$ Область определения требует $x^2-5x+4\ne0$, то есть $x\ne1,\ x\ne4$. На этой области знаменатель в квадрате положителен, поэтому можно перенести всё в одну сторону и умножить обе части на положительный знаменатель — знак неравенства не изменится: $$\frac{|x^2+6x|-9}{(x^2-5x+4)^2}\ge0 \;\Longleftrightarrow\; |x^2+6x|-9\ge0,\quad x\ne1,\,x\ne4.$$

Решаем $|x^2+6x|\ge9$ через совокупность двух случаев (снятие модуля):

1. $x^2+6x-9\ge0$ — корни $x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+36}}{2}=-3\pm3\sqrt2$, значит решение $x\le-3-3\sqrt2$ или $x\ge-3+3\sqrt2$.
2. $x^2+6x+9\le0 \Leftrightarrow (x+3)^2\le0$ — единственное решение $x=-3$.

Объединяя, получаем множество $(-\infty;-3-3\sqrt2]\cup\{-3\}\cup[-3+3\sqrt2;+\infty)$.

Осталось учесть исключённые точки $x=1$ и $x=4$. Так как $-3+3\sqrt2\approx1{,}24$, точка $x=1$ уже не входит в полученное множество (она лежит между $-3-3\sqrt2$ и $-3+3\sqrt2$, кроме одиночной точки $-3$), поэтому её отдельно исключать не нужно. А точка $x=4$ лежит внутри промежутка $[-3+3\sqrt2;+\infty)$, поэтому её нужно выколоть.

Итоговое множество решений: $$(-\infty;-3-3\sqrt2]\cup\{-3\}\cup[-3+3\sqrt2;4)\cup(4;+\infty).$$