Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x\neq -1,\ x\neq -6$.

Преобразуем левую часть, приведя дробь к общему знаменателю: $$\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}\right)^2=\left(\frac{(x+6)-(x+1)}{(x+1)(x+6)}\right)^2=\left(\frac{5}{(x+1)(x+6)}\right)^2=\frac{25}{(x^2+7x+6)^2}.$$ Здесь используется формула разности дробей и то, что $(x+1)(x+6)=x^2+7x+6$.

Неравенство принимает вид $$\frac{25}{(x^2+7x+6)^2}\le\frac{|x^2-10x|}{(x^2+7x+6)^2}.$$ Так как знаменатель одинаков и всегда положителен (кроме исключённых точек), можно перенести всё в одну дробь: $$\frac{|x^2-10x|-25}{(x^2+7x+6)^2}\ge 0.$$ Поскольку знаменатель — квадрат, он положителен всюду, где определён, поэтому знак дроби определяется только числителем: $$|x^2-10x|\ge 25.$$

Раскрываем модуль по определению — получаем совокупность двух неравенств: $$x^2-10x-25\ge0 \quad\text{или}\quad x^2-10x+25\le0.$$ Первое: корни $x=5\pm5\sqrt2$, значит решение $x\le5-5\sqrt2$ или $x\ge5+5\sqrt2$. Второе: $(x-5)^2\le0$, значит единственное решение $x=5$.

Объединяя, получаем множество решений неравенства $|x^2-10x|\ge25$: $$(-\infty;5-5\sqrt2]\cup\{5\}\cup[5+5\sqrt2;+\infty).$$

Исключаем из этого множества точки $x=-6$ и $x=-1$ (они входят в интервал $(-\infty;5-5\sqrt2]$, так как $5-5\sqrt2\approx-2{,}07$), получая окончательный ответ.