Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Перенесём всё в левую часть: $25x^2-30x+9-3|3-5x|<0$. Замечаем, что $25x^2-30x+9=(5x-3)^2$ — это квадрат разности, полученный сворачиванием трёх членов. Также модуль чётен: $|3-5x|=|5x-3|$, поэтому неравенство принимает вид $(5x-3)^2-3|5x-3|<0$.

Вводим замену $t=|5x-3|\ge 0$. Тогда $(5x-3)^2=t^2$, и неравенство становится квадратным относительно t: $t^2-3t<0$, то есть $t(t-3)<0$. Это выполняется, когда t лежит между корнями 0 и 3: $0<t<3$.

Возвращаемся к исходной переменной: $0<|5x-3|<3$. Это двойное неравенство разбивается на два отдельных условия, которые должны выполняться одновременно:

1. $|5x-3|>0$ означает, что выражение под модулем не равно нулю, то есть $5x-3\ne0 \Rightarrow x\ne \dfrac{3}{5}$.

2. $|5x-3|<3$ раскрывается как двойное неравенство $-3<5x-3<3$. Добавляя 3 ко всем частям: $0<5x<6$, и деля на 5: $0<x<\dfrac{6}{5}$.

Объединяя оба условия, получаем интервал $x\in(0;\,6/5)$, из которого нужно исключить точку $x=3/5$ (она попадает внутрь этого интервала). В результате область решений разбивается на два открытых промежутка: $(0;\,3/5)$ и $(3/5;\,6/5)$.