Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Перенесём все члены с модулями в одну сторону: исходное неравенство $3x-|x+8|-|1-x|\le -6$ равносильно $|x+8|+|1-x|\ge 3x+6$ (умножили обе части на $-1$ и поменяли знак неравенства).

Случай 1: правая часть отрицательна. Если $3x+6<0$, то есть $x<-2$, неравенство выполняется автоматически, так как слева стоит сумма модулей — неотрицательное число, а справа — отрицательное. Значит все $x<-2$ входят в решение.

Случай 2: $x\ge -2$. Здесь $3x+6\ge 0$, и при этом $x+8>0$ (так как $x\ge-2$), значит $|x+8|=x+8$. Также $|1-x|=|x-1|$. Подставляем: $$x+8+|x-1|\ge 3x+6.$$ Переносим: $|x-1|\ge 2x-2=2(x-1)$.

Обозначим $t=x-1$. Нужно решить $|t|\ge 2t$.

• Если $t>0$: $|t|=t$, получаем $t\ge 2t \Rightarrow t\le 0$ — противоречие с $t>0$, решений нет.
• Если $t\le 0$: $|t|=-t$, получаем $-t\ge 2t \Rightarrow -3t\ge 0 \Rightarrow t\le 0$ — всегда верно.

Значит неравенство верно при $t\le 0$, то есть $x\le 1$.

С учётом условия $x\ge -2$ получаем $-2\le x\le 1$.

Объединяем результаты обоих случаев: $x<-2$ или $-2\le x\le 1$, что в совокупности даёт $x\le 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.