Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Модули меняют формулу в точках $x=-1$ и $x=2$, поэтому неравенство $3|x+1|+\frac12|x-2|-\frac32x\le 8$ рассматриваем на трёх промежутках.

1) $x\le -1$. Тогда $|x+1|=-(x+1)$, $|x-2|=2-x$. Подставляем: $$-3(x+1)+\frac12(2-x)-\frac32x\le8.$$ Раскрываем и приводим подобные: коэффициент при $x$ равен $-3-\frac12-\frac32=-5$, свободный член $-3+1=-2$. Получаем $-5x-2\le8\Rightarrow x\ge-2$. С учётом условия $x\le-1$ имеем $-2\le x\le-1$.

2) $-1<x\le2$. Здесь $|x+1|=x+1$, $|x-2|=2-x$: $$3(x+1)+\frac12(2-x)-\frac32x\le8.$$ Коэффициент при $x$: $3-\frac12-\frac32=1$, свободный член $3+1=4$. Получаем $x+4\le8\Rightarrow x\le4$. Пересекая с условием, получаем $-1<x\le2$.

3) $x>2$. Тогда $|x+1|=x+1$, $|x-2|=x-2$: $$3(x+1)+\frac12(x-2)-\frac32x\le8.$$ Коэффициент при $x$: $3+\frac12-\frac32=2$, свободный член $3-1=2$. Получаем $2x+2\le8\Rightarrow x\le3$. С учётом $x>2$ имеем $2<x\le3$.

Объединяя найденные промежутки $[-2;-1]\cup(-1;2]\cup(2;3]$, получаем единый отрезок $[-2;3]$ — так как соседние интервалы стыкуются без разрывов.