Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Перепишем неравенство, перенеся все члены с модулями в одну часть: $$3|x+3|-3x\le 14-|2-x|\;\Longleftrightarrow\;3|x+3|+|x-2|\le 3x+14,$$ так как $|2-x|=|x-2|$.

Обозначим левую часть как функцию $f(x)=3|x+3|+|x-2|$. Это сумма двух модулей с положительными коэффициентами, значит $f(x)$ — кусочно-линейная функция. На участке $x\ge -3$ раскрытие первого модуля даёт слагаемое $3(x+3)$ с положительным наклоном 3, а второй модуль на этом участке при $x\ge2$ добавляет наклон +1 (при $x<2$ наклон -1, но всё равно суммарный наклон положителен из-за коэффициента 3 у первого модуля), поэтому функция возрастает при $x\ge -3$. При $x\le -3$ первый модуль даёт наклон $-3$, что делает функцию убывающей. Значит минимум $f(x)$ достигается в точке $x=-3$: $f(-3)=3\cdot0+|-3-2|=5$.

Правая часть неравенства $3x+14$ — линейная функция. Чтобы неравенство $f(x)\le 3x+14$ могло выполняться, нужно, чтобы правая часть была не меньше минимума левой, то есть $3x+14\ge5\Rightarrow x\ge-3$. Это необходимое условие, поэтому далее рассматриваем только $x\ge-3$.

При $x\ge-3$ модуль $|x+3|=x+3$, и неравенство принимает вид $$3(x+3)+|x-2|\le 3x+14\;\Longleftrightarrow\;3x+9+|x-2|\le 3x+14\;\Longleftrightarrow\;|x-2|\le5.$$ Решаем это простое неравенство с модулем: $$-5\le x-2\le5\;\Longleftrightarrow\;-3\le x\le7.$$

Это решение уже удовлетворяет условию $x\ge-3$, значит пересечение не меняет результат.

Итоговое решение неравенства: $x\in[-3;7]$.