Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Перенесём все члены в одну сторону: $$25x^2-80x+64-4|8-5x|<0.$$ Заметим, что $25x^2-80x+64=(5x-8)^2=(8-5x)^2$ — это позволяет ввести замену.

Пусть $y=|8-5x|\ge 0$. Тогда $(8-5x)^2=y^2$, и неравенство принимает вид $$y^2-4y<0 \;\Longleftrightarrow\; y(y-4)<0 \;\Longleftrightarrow\; 0<y<4.$$ Это квадратное неравенство «параболой вверх», корни $0$ и $4$, между корнями выражение отрицательно — отсюда двойное неравенство.

Возвращаемся к $x$: $0<|8-5x|<4$. Модуль больше нуля означает, что выражение под модулем не равно нулю, то есть $x\ne\dfrac{8}{5}$. Модуль меньше 4 раскрывается как $$-4<8-5x<4.$$

Решаем это двойное неравенство: вычтем 8 из всех частей: $-12<-5x<-4$, затем разделим на $-5$ (меняя знаки неравенств): $$\frac{4}{5}<x<\frac{12}{5}.$$

Учитывая, что $x\ne \dfrac{8}{5}$ (иначе модуль равен нулю, а строгое неравенство $0<y$ нарушится), получаем два промежутка: $$x\in\left(\frac{4}{5};\frac{8}{5}\right)\cup\left(\frac{8}{5};\frac{12}{5}\right).$$