Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Перепишем неравенство в виде $|x+2|\le x|x|$ — так удобнее анализировать знаки обеих частей.

1. Случай $x\le 0$. При $x\le 0$ имеем $|x|=-x\ge 0$, поэтому $x|x|=x\cdot(-x)=-x^2\le 0$. Левая часть $|x+2|\ge 0$ всегда. Значит, чтобы выполнялось $|x+2|\le -x^2$, нужно, чтобы неотрицательное число было не больше неположительного — это возможно только если обе части равны нулю. Но $x+2=0$ даёт $x=-2$, а тогда $x|x|=-4\ne 0$. Значит, при $x\le 0$ решений нет.

2. Случай $x>0$. Здесь $|x|=x$, поэтому $x|x|=x^2$. Также $x+2>0$ (так как $x>0$), значит $|x+2|=x+2$. Неравенство принимает вид: $$x+2\le x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^2-x-2\ge 0.$$ Разложим на множители: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Получаем $(x-2)(x+1)\ge 0$, что выполняется при $x\le -1$ или $x\ge 2$.

Так как рассматриваем только $x>0$, из этих двух промежутков подходит лишь $x\ge 2$.

Итог. Объединяя случаи (в первом решений нет, во втором $x\ge2$), получаем окончательный ответ.