ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Неравенства с модулем

Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15Неравенства с модулямиРациональные неравенства

Решите неравенство: дробь: числитель: левая круглая скобка |x в квадрате минус 8x плюс 16| минус |x минус 4| правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка |x плюс 6| минус |x минус 2| правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка |x в квадрате минус 1| минус 8 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 6|x| плюс 5 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.

В подтеме 28 задач
Разбор
Главная идея: Заменить разности модулей на разности квадратов (sgn⁡(∣a∣−∣b∣)=sgn⁡(a2−b2)\operatorname{sgn}(|a|-|b|)=\operatorname{sgn}(a^2-b^2)), полностью разложить дробь на линейные множители и решить методом интервалов, учитывая ОДЗ и кратность корней.
  1. Используем, что знак разности модулей совпадает со знаком разности квадратов: sgn⁡(∣a∣−∣b∣)=sgn⁡(a2−b2)\operatorname{sgn}(|a|-|b|)=\operatorname{sgn}(a^2-b^2), так как a2−b2=(∣a∣−∣b∣)(∣a∣+∣b∣)a^2-b^2=(|a|-|b|)(|a|+|b|), а множитель ∣a∣+∣b∣≥0|a|+|b|\ge0. Это позволяет заменить каждую разность модулей на разность квадратов, не меняя знак дроби.
  2. Преобразуем: (x2−8x+16)2−(x−4)2=(x−4)2[(x−4)2−1]=(x−4)2(x−3)(x−5)(x^2-8x+16)^2-(x-4)^2=(x-4)^2[(x-4)^2-1]=(x-4)^2(x-3)(x-5); (x+6)2−(x−2)2=16(x+2)(x+6)^2-(x-2)^2=16(x+2) (разность квадратов); (x2−1)2−64=(x2−9)(x2+7)(x^2-1)^2-64=(x^2-9)(x^2+7); x2−6∣x∣+5=(∣x∣−5)(∣x∣−1)x^2-6|x|+5=(|x|-5)(|x|-1).
  3. Так как (∣x∣+5)(∣x∣+1)>0(|x|+5)(|x|+1)>0, множитель (∣x∣−5)(∣x∣−1)(|x|-5)(|x|-1) по знаку совпадает с (x2−25)(x2−1)(x^2-25)(x^2-1). Раскладываем всё на множители первой степени: x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3), x2−25=(x−5)(x+5)x^2-25=(x-5)(x+5), x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1), а x2+7>0x^2+7>0 всегда, поэтому его можно убрать.
  4. Получаем 16(x−4)2(x−3)(x−5)(x+2)(x−3)(x+3)(x−5)(x+5)(x−1)(x+1)≤0,\dfrac{16(x-4)^2(x-3)(x-5)(x+2)}{(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)(x-1)(x+1)}\le0, с условием x≠±3,±5,±1x\ne\pm3,\pm5,\pm1 (там знаменатель исходной дроби равен нулю). Сокращаем одинаковые множители (x−3)(x-3) и (x−5)(x-5), помня об исключённых точках, и приходим к 16(x−4)2(x+2)(x+5)(x+3)(x+1)(x−1)≤0.\dfrac{16(x-4)^2(x+2)}{(x+5)(x+3)(x+1)(x-1)}\le0.
  5. Множитель (x−4)2≥0(x-4)^2\ge0 не влияет на знак (кроме нуля в x=4x=4, где всё выражение равно нулю и входит в ответ). Далее методом интервалов расставляем нули −5,−3,−2,−1,1-5,-3,-2,-1,1 и знаки дроби x+2(x+5)(x+3)(x+1)(x−1)\dfrac{x+2}{(x+5)(x+3)(x+1)(x-1)}. Все корни простые, поэтому знак чередуется на соседних промежутках. Отбираем те, где выражение ≤0\le0, учитывая исключённые точки x=−5,−3,−1,1,3,5x=-5,-3,-1,1,3,5 (где знаменатель исходной дроби равен нулю) и включённую точку x=4x=4.
  6. В результате получаем объединение промежутков (−∞;−5)(-\infty;-5), (−3;−2](-3;-2], (−1;1)(-1;1) и отдельную точку {4}\{4\}.

Типичные ошибки

  • Забывают учитывать ОДЗ — точки, где исходный знаменатель (с модулями) обращается в ноль, теряются при переходе к квадратам.
  • Не учитывают чётную кратность множителя (x−4)2(x-4)^2, из-за чего неправильно определяют, входит ли точка x=4x=4 в ответ.
  • Ошибки при раскрытии разности квадратов и сокращении одинаковых множителей в числителе и знаменателе, что приводит к неверному расположению нулей на числовой прямой.
Непонятно?

Похожие задачи