Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

1. ОДЗ. Знаменатель $|x-3|\neq0$, значит $x\neq3$.

2. Приводим к общему знаменателю. Второе слагаемое умножим и разделим на $|x-3|$: так как $|x-3|^2=(x-3)^2$, то $$x|x-3|=\frac{x(x-3)^2}{|x-3|}.$$ Теперь неравенство принимает вид $$\frac{x^3-27-x(x-3)^2}{|x-3|}\ge0.$$

3. Раскладываем числитель. Используем формулу разности кубов $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ и выносим общий множитель $(x-3)$: $$x^3-27-x(x-3)^2=(x-3)\big[x^2+3x+9-x(x-3)\big]=(x-3)(6x+9)=3(x-3)(2x+3).$$ Получаем $$\frac{3(x-3)(2x+3)}{|x-3|}\ge0.$$

4. Раскрываем модуль по промежуткам (учитывая $x\neq3$).

— Если $x<3$: $|x-3|=-(x-3)$, значит $$\frac{3(x-3)(2x+3)}{-(x-3)}=-3(2x+3)\ge0\ \Rightarrow\ 2x+3\le0\ \Rightarrow\ x\le-1{,}5.$$ Все такие $x$ действительно меньше 3, значит подходят.

— Если $x>3$: $|x-3|=x-3$, значит $$\frac{3(x-3)(2x+3)}{x-3}=3(2x+3)\ge0\ \Rightarrow\ 2x+3\ge0\ \Rightarrow\ x\ge-1{,}5,$$ что выполняется автоматически, так как $x>3$.

5. Объединяем результаты, учитывая исключённую точку $x=3$ (она и так не входит в промежуток $x>3$): $$x\in(-\infty;-1{,}5]\cup(3;+\infty).$$