Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Под корнем выделяем полный квадрат: $4x^4-4x^2+1=(2x^2-1)^2$, поэтому $\sqrt{4x^4-4x^2+1}=|2x^2-1|$. Исходное неравенство принимает вид $|x^2-3x+1|\ge|2x^2-1|$.

Обе части неотрицательны, значит можно возвести их в квадрат без потери равносильности (модуль в квадрате равен квадрату выражения): $(x^2-3x+1)^2\ge(2x^2-1)^2$.

Переносим всё влево и применяем формулу разности квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A=x^2-3x+1$, $B=2x^2-1$: $A-B=-x^2-3x+2$, $A+B=3x^2-3x=3x(x-1)$. Получаем $3x(x-1)\cdot(-x^2-3x+2)\ge0$, то есть после умножения на $-1$ и деления на 3 (знак неравенства меняется один раз): $x(x-1)(x^2+3x-2)\le0$.

Находим корни $x^2+3x-2=0$: $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$. Значит неравенство — это произведение четырёх множителей $x,\ x-1,\ x-\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},\ x-\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}$, которое должно быть $\le0$.

Располагаем корни на числовой прямой по возрастанию: $\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\approx-3{,}56$, затем $0$, затем $\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\approx0{,}56$, затем $1$. Методом интервалов (старший коэффициент положителен, значит на $+\infty$ знак «+», далее чередуется) находим, что произведение $\le0$ на промежутках между 1-м и 2-м корнем и между 3-м и 4-м корнем.

Отсюда получаем ответ, включая границы (неравенство нестрогое).