Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит $x\neq 3$.

Заметим, что $0,04=0,2^{2}$, поэтому неравенство принимает вид $$\frac{0,2^{|x^{2}-4x+2|}-0,2^{2}}{3-x}\le 0.$$

Функция $0,2^{t}$ убывает, поэтому разность $0,2^{t_1}-0,2^{t_2}$ имеет знак, противоположный знаку $t_1-t_2$. Значит, знак числителя совпадает со знаком $2-|x^{2}-4x+2|$ (метод рационализации для показательной функции с основанием $0<a<1$).

Обозначим $A=x^{2}-4x+2$. Так как $2+|A|>0$ всегда, знак выражения $2-|A|$ совпадает со знаком произведения $(2-|A|)(2+|A|)=4-A^{2}$ — это применение формулы разности квадратов.

Раскроем: $2-A=-x^{2}+4x=x(4-x)$, $2+A=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$. Тогда $$4-A^{2}=x(4-x)(x-2)^{2}.$$

Подставляя обратно и учитывая, что $3-x=-(x-3)$, получаем равносильное рациональное неравенство $$\frac{x(x-4)(x-2)^{2}}{x-3}\le 0,\quad x\neq 3.$$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=0,\ x=2$ (кратность 2, знак не меняется, но точка входит, так как даёт равенство нулю), $x=4$. Точка $x=3$ — точка разрыва, исключается.

Определяя знак на каждом промежутке (например, подставив пробные точки $-1,1,2.5,3.5,5$), получаем, что выражение отрицательно или равно нулю при $$x\le 0,\quad x=2,\quad 3<x\le 4.$$

Объединяя, получаем итоговое множество решений.