Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Сделаем замену $t=2^{|x|}$, при этом $t>0$. Неравенство принимает вид $$t-6-\frac{9t-37}{t^2-7t+12}\le \frac{1}{t-4}.$$

Разложим знаменатель: $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)$. Перенесём все члены влево и приведём к общему знаменателю: $$t-6-\frac{9t-37}{(t-3)(t-4)}-\frac{1}{t-4}\le0.$$

Объединяя дробные части, получаем $t-6-\dfrac{10(t-4)}{(t-3)(t-4)}\le0$, то есть при $t\neq4$ имеем $t-6-\dfrac{10}{t-3}\le0$.

Приводим к общему знаменателю: $\dfrac{(t-6)(t-3)-10}{t-3}\le0 \Rightarrow \dfrac{(t-8)(t-1)}{t-3}\le0$, при этом $t\neq4$.

Методом интервалов (учитывая точку разрыва $t=3$) находим решение: $t\le1$, либо $3<t<4$, либо $4<t\le8$.

Теперь возвращаемся к переменной $x$: $t=2^{|x|}$, значит нужно решить $$2^{|x|}\le1,\quad 3<2^{|x|}<4,\quad 4<2^{|x|}\le8.$$

Поскольку функция $2^{|x|}$ монотонно связана с $|x|$ (растёт при $|x|\ge0$), логарифмируя по основанию 2, получаем: $$|x|\le0,\quad \log_2 3<|x|<2,\quad 2<|x|\le3.$$

Первое условие даёт $x=0$. Остальные, раскрывая модуль ($|x|<a \Leftrightarrow -a<x<a$, $|x|\le a\Leftrightarrow -a\le x\le a$, аналогично для строгих/нестрогих неравенств с двух сторон), дают объединение промежутков: $$-2<x<-\log_2 3,\quad \log_2 3<x<2,\quad -3\le x<-2,\quad 2<x\le3.$$

Собирая все части вместе с точкой $x=0$, получаем итоговый ответ.