Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Заметим, что $3^{2x+1}=3\cdot(3^x)^2$, поэтому удобно ввести замену $t=3^x$, причём $t>0$. Неравенство принимает вид $$3t^2+4t+2|t-2|\ge5.$$

Модуль раскрываем по определению, рассматривая два случая по знаку выражения под модулем.

1. При $t\ge2$: $|t-2|=t-2$, неравенство $3t^2+4t+2(t-2)\ge5$ даёт $3t^2+6t-9\ge0$, то есть $t^2+2t-3\ge0$. Корни: $t=1,\,t=-3$, значит решение $t\ge1$ или $t\le-3$. С учётом условия $t\ge2$ получаем $t\ge2$.

2. При $t<2$: $|t-2|=2-t$, неравенство $3t^2+4t+2(2-t)\ge5$ даёт $3t^2+2t-1\ge0$. Корни: $t=\frac13,\,t=-1$, значит решение $t\ge\frac13$ или $t\le-1$. С учётом условия $t<2$ получаем $\frac13\le t<2$ или $t\le-1$.

Объединяя оба случая: $t\ge\frac13$ или $t\le-1$.

Поскольку $t=3^x>0$, условие $t\le-1$ невозможно, остаётся $t\ge\frac13$, то есть $3^x\ge3^{-1}$. Так как основание $3>1$, показательная функция возрастает, значит неравенство равносильно $x\ge-1$.

Ответ: $x\in[-1;+\infty)$.