Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Область определения: знаменатель $|x+1|$ не может быть равен нулю, значит $x\neq -1$.

Введём замену $t=|x+1|$. По определению модуля $t>0$ на области определения. Тогда неравенство $|x+1|-\dfrac{6}{|x+1|}\leqslant 5$ переписывается как $t-\dfrac{6}{t}\leqslant 5$.

Приведём к общему знаменателю: $\dfrac{t^2-5t-6}{t}\leqslant 0$. Так как $t>0$, знак дроби совпадает со знаком числителя, поэтому неравенство равносильно $t^2-5t-6\leqslant 0$.

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $t^2-5t-6=(t+1)(t-6)$. Получаем $(t+1)(t-6)\leqslant 0$.

Поскольку $t>0$, множитель $t+1$ всегда положителен, значит знак произведения определяется вторым множителем: неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $t-6\leqslant 0$, то есть $t\leqslant 6$.

С учётом условия $t>0$ получаем $0<t\leqslant 6$, то есть $0<|x+1|\leqslant 6$.

Раскроем модуль: $|x+1|\leqslant 6$ даёт $-6\leqslant x+1\leqslant 6$, то есть $-7\leqslant x\leqslant 5$. Условие $|x+1|\neq 0$ означает $x\neq -1$.

Объединяя, получаем $x\in[-7;5]$ при исключении точки $x=-1$, то есть $x\in[-7;-1)\cup(-1;5]$.