Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Область определения: выражение под модулем не должно обращаться в 0 (иначе степень с показателем x-1,2 может быть не определена), то есть $\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\neq0$, откуда $x\neq1$.

Обозначим $t=\left|\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\right|^{x-1,2}$. Так как основание степени — модуль, оно всегда неотрицательно, а при допустимых x (когда оно не равно нулю) оно строго положительно, значит $t>0$.

Исходное неравенство принимает вид $t+\dfrac{1}{t}\le 2$. Приведём к общему знаменателю: $\dfrac{t^2-2t+1}{t}\le0$, то есть $\dfrac{(t-1)^2}{t}\le0$. Числитель — квадрат, он всегда $\ge0$, а знаменатель положителен (так как $t>0$). Значит дробь может быть $\le0$ только если числитель равен нулю, то есть $(t-1)^2=0$, откуда $t=1$.

Теперь решаем уравнение $\left|\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\right|^{x-1,2}=1$. Степень равна 1 в двух случаях: либо основание равно 1 (тогда любой показатель даёт 1), либо показатель равен 0, а основание не равно 0 (чтобы степень была определена).

1. $\left|\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\right|=1$ ⟹ $\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=\pm1$ ⟹ $x=2{,}5$ или $x=-0{,}5$.

2. $x-1{,}2=0$ при условии $\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\neq0$ ⟹ $x=1{,}2$, и это значение действительно не равно 1, значит подходит.

Все найденные значения входят в область определения, поэтому решение неравенства — это набор точек $x=-0{,}5;\ 1{,}2;\ 2{,}5$.