Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Делаем замену $t=3^x$, при этом $t>0$. Так как $9^x=(3^x)^2=t^2$, неравенство принимает вид $$|3t-t^2|+|t^2-5t+6|\le 6-2t.$$

Левая часть — сумма модулей, значит она неотрицательна. Поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: $6-2t\ge0$, то есть $t\le3$.

Так как $t>0$, аргумент первого модуля $3t-t^2=t(3-t)$ при $0<t\le3$ неотрицателен (произведение двух неотрицательных множителей). Значит $|3t-t^2|=3t-t^2$, и неравенство упрощается: $$3t-t^2+|t^2-5t+6|\le 6-2t.$$ Перенесём $3t-t^2$ вправо: $$|t^2-5t+6|\le 6-2t-3t+t^2=t^2-5t+6.$$

Получили неравенство вида $|a|\le a$, которое выполняется тогда и только тогда, когда $a\ge0$ (модуль равен самому числу только для неотрицательных чисел). Значит нужно решить $$t^2-5t+6\ge0.$$ Корни: $t=2,\ t=3$, парабола положительна вне корней: $t\le2$ или $t\ge3$.

Теперь объединяем все ограничения: $0<t\le3$ (из первого условия) и ($t\le2$ или $t\ge3$). Пересечение даёт $0<t\le2$ или $t=3$.

Возвращаемся к $x$: $t=3^x$.

• Если $0<t\le2$: $3^x\le2\Rightarrow x\le\log_3 2$ (так как $3^x>0$ всегда выполняется).
• Если $t=3$: $3^x=3\Rightarrow x=1$.

Итого $x\le\log_3 2$ или $x=1$.