Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Заметим, что $x^3+x^2+x=x(x^2+x+1)$, а $x^2+x+1>0$ при всех $x$, значит $|x^3+x^2+x|=|x|(x^2+x+1)$.

Обозначим $A=x^2+x+1>0$, $B=|x|$. Числитель дроби принимает вид $A^2-2AB-3B^2=(A-3B)(A+B)$ — это разложение как $a^2-2ab-3b^2=(a-3b)(a+b)$.

Множитель $A+B$ всегда положителен, поэтому неравенство сводится к $$\dfrac{|x^2+x+1|-3|x|}{10x^2-17x-6}\ge0.$$

Знак разности модулей совпадает со знаком разности квадратов: $|u|-|v|$ и $u^2-v^2$ имеют одинаковый знак. Значит числитель заменяем на $(x^2+x+1)^2-(3x)^2=(x^2+x+1-3x)(x^2+x+1+3x)=(x-1)^2(x^2+4x+1)$.

Корни $x^2+4x+1=0$: $x=-2\pm\sqrt3$.

Знаменатель $10x^2-17x-6=(10x+3)(x-2)$, корни $x=-0{,}3$ и $x=2$.

Получаем $$\dfrac{(x-1)^2(x+2+\sqrt3)(x+2-\sqrt3)}{(10x+3)(x-2)}\ge0.$$

Множитель $(x-1)^2\ge0$ и обращается в ноль только при $x=1$, что даёт равенство (эта точка входит в ответ отдельно).

Сравнивая корни: $-2-\sqrt3<-0{,}3<-2+\sqrt3<1<2$ (так как $\sqrt3\approx1{,}73>1{,}7$, значит $-2+\sqrt3>-0{,}3$).

Применяем метод интервалов к оставшимся простым множителям, чередуя знаки на числовой прямой и учитывая исключённые точки $x=-0{,}3$ и $x=2$ (там знаменатель обращается в ноль). В результате знак «+» получается на промежутках $(-\infty;-2-\sqrt3]$, $(-0{,}3;-2+\sqrt3]$, точке $x=1$ и $(2;+\infty)$.