Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Замечаем, что $x^{2}-6|x|+9=(|x|-3)^{2}$, поэтому естественно сделать замену $t=|x|,\ t\ge 0$.

Неравенство принимает вид $$\frac{3}{(t-3)^{2}}-\frac{4}{t-3}+1\ge0,\qquad t\ne3.$$

Приводим к общему знаменателю $(t-3)^{2}$: $$\frac{3-4(t-3)+(t-3)^{2}}{(t-3)^{2}}\ge0.$$

Раскрываем скобки в числителе: $3-4t+12+t^{2}-6t+9=t^{2}-10t+24=(t-4)(t-6)$.

Знаменатель $(t-3)^{2}>0$ при $t\ne3$, значит знак дроби определяется числителем: $$(t-4)(t-6)\ge0.$$

Это выполняется при $t\le4$ или $t\ge6$. С учётом $t\ne3$ получаем $$t<3,\quad 3<t\le4,\quad t\ge6,$$ а так как $t=|x|\ge0$, все эти промежутки уже лежат в области $t\ge0$.

Теперь возвращаемся к $x$, подставляя $t=|x|$:

• $|x|<3\Rightarrow -3<x<3$;
• $3<|x|\le4\Rightarrow -4\le x<-3$ или $3<x\le4$;
• $|x|\ge6\Rightarrow x\le-6$ или $x\ge6$.

Объединяя все полученные промежутки, получаем окончательный ответ.