Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Шаг 1. Используем свойство модулей. Для любых чисел верно $\text{sgn}(|a|-|b|)=\text{sgn}(a^2-b^2)$, поскольку $|a|-|b|$ и $a^2-b^2=(|a|-|b|)(|a|+|b|)$ имеют одинаковый знак (второй множитель $|a|+|b|\ge0$ не меняет знак, кроме случая $a=b=0$, что не влияет на решение). Значит, знак числителя дроби совпадает со знаком $$(x^2+2x-3)^2-(x^2+3x+5)^2.$$ Это позволяет заменить исходное неравенство равносильным без модулей.

Шаг 2. Раскрываем разность квадратов. По формуле $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A=x^2+2x-3$, $B=x^2+3x+5$:

• $A-B=-x-8$
• $A+B=2x^2+5x+2$

Получаем неравенство $$\frac{(2x^2+5x+2)(-x-8)}{2x+1}\ge0.$$

Шаг 3. Разложим квадратный трёхчлен. $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$ (проверяется раскрытием скобок). Тогда неравенство: $$\frac{(2x+1)(x+2)(-x-8)}{2x+1}\ge0.$$

Шаг 4. Сокращаем на $(2x+1)$. Поскольку знаменатель не может быть нулём, $x\ne-\frac12$. При этом условии множитель $(2x+1)$ в числителе и знаменателе сокращается, знак дроби не меняется. Остаётся: $$(x+2)(-x-8)\ge0 \;\Longleftrightarrow\; (x+2)(x+8)\le0.$$

Шаг 5. Решаем квадратное неравенство. Корни $x=-8$ и $x=-2$. Парабола $(x+2)(x+8)$ направлена вверх, значит неравенство $\le0$ выполняется между корнями: $$-8\le x\le-2.$$

Шаг 6. Учитываем исключение $x\ne-\frac12$. Точка $x=-\frac12$ не входит в промежуток $[-8;-2]$, поэтому она никак не влияет на ответ.

Итог: решение неравенства — отрезок $[-8;-2]$.