Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Область определения: знаменатель $|x+2|+x^2>0$ выполняется для всех x (если x=-2, то x²=4>0). Логарифм по основанию 0,5 — убывающая функция, поэтому $\log_{0,5}(t)\le 0 \iff t\ge 1$. Значит неравенство равносильно $$\frac{|x^2-2x|+4}{|x+2|+x^2}\ge 1.$$ Так как знаменатель всегда положителен, умножаем обе части на него без смены знака: $$|x^2-2x|+4\ge |x+2|+x^2.$$ Раскрываем модули по промежуткам, где выражения под модулями меняют знак: $x^2-2x\ge0$ при $x\le0$ или $x\ge2$; $x+2\ge0$ при $x\ge-2$.

1) $x\le-2$: оба модуля раскрываются как $x^2-2x$ и $-(x+2)$. Получаем $x^2-2x+4\ge -x-2+x^2 \Rightarrow -x\ge-6 \Rightarrow x\le6$. Пересекая с $x\le-2$, имеем $x\le-2$.

2) $-2<x\le0$ или $x\ge2$: модуль $|x^2-2x|=x^2-2x$, $|x+2|=x+2$. Получаем $x^2-2x+4\ge x+2+x^2 \Rightarrow -3x\ge-2 \Rightarrow x\le\frac23$. С учётом области — только $-2<x\le0$ (при $x\ge2$ условие не выполняется).

3) $0<x<2$: здесь $x^2-2x<0$, поэтому $|x^2-2x|=-x^2+2x$, а $|x+2|=x+2$. Получаем $-x^2+2x+4\ge x+2+x^2 \Rightarrow 2x^2-x-2\le0$. Корни: $x=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{4}$. Неравенство верно между корнями, то есть $\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}\le x\le \dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$. Пересекая с $0<x<2$, получаем $0<x\le\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$ (так как $\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\approx1{,}28<2$).

Объединяя все три случая ($x\le-2$, $-2<x\le0$, $0<x\le\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$), получаем итог: $$x\le\frac{1+\sqrt{17}}{4}.$$