Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

1. Замечаем, что $1=5^{0}$, а показательная функция $5^{t}$ строго возрастает, поэтому неравенство $5^{t}\le 5^{0}$ равносильно $t\le 0$. Значит исходное неравенство эквивалентно $$\frac{x^{2}-7|x|+10}{x^{2}-6x+9}\le 0.$$
2. Знаменатель — полный квадрат: $x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\ge 0$, причём он равен нулю только при $x=3$ (эта точка не входит в область определения). При всех остальных $x$ знаменатель строго положителен, поэтому знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Значит неравенство сводится к $$x^{2}-7|x|+10\le 0,\qquad x\ne 3.$$
3. Раскрываем модуль по определению.

При $x\ge 0$: $|x|=x$, получаем $x^{2}-7x+10\le 0$. Корни: $x=2,\ x=5$ (дискриминант $49-40=9$), значит $x^{2}-7x+10=(x-2)(x-5)$. Неравенство $(x-2)(x-5)\le 0$ выполняется при $x\in[2;5]$. С учётом $x\ge0$ и $x\ne3$ получаем $x\in[2;3)\cup(3;5]$.

При $x<0$: $|x|=-x$, получаем $x^{2}+7x+10\le 0$. Корни: $x=-2,\ x=-5$, значит $x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)$. Неравенство $(x+2)(x+5)\le0$ выполняется при $x\in[-5;-2]$, что автоматически удовлетворяет условию $x<0$.

4. Объединяя оба случая, получаем множество решений $$x\in[-5;-2]\cup[2;3)\cup(3;5].$$