Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

1. Замечаем, что оба модуля — это один и тот же модуль. Поскольку $|{-a}|=|a|$, имеем $|22x-x^{2}-105|=|x^{2}-22x+105|$. Значит всё выражение можно записать через один общий множитель $A=|x^{2}-22x+105|\ge 0$: $$\frac{9A}{17-|x+2|}-A\le 0\;\Longleftrightarrow\;A\left(\frac{9}{17-|x+2|}-1\right)\le 0.$$ При этом сразу нужна область определения: $17-|x+2|\ne0$, т.е. $|x+2|\ne17$, значит $x\ne15,\;x\ne-19$.

2. Приводим скобку к одной дроби. $$\frac{9}{17-|x+2|}-1=\frac{9-(17-|x+2|)}{17-|x+2|}=\frac{|x+2|-8}{17-|x+2|}.$$ Получаем $$A\cdot\frac{|x+2|-8}{17-|x+2|}\le 0.$$

3. Разбираем произведение, учитывая знак $A$. Так как $A\ge0$, произведение неотрицательного числа на дробь будет $\le0$ в двух ситуациях:

Случай 1: $A=0$. Тогда всё выражение равно нулю независимо от дроби (лишь бы она была определена). Решаем $x^{2}-22x+105=0\Rightarrow x=7$ или $x=15$. Но $x=15$ не входит в область определения (там знаменатель нулевой), значит остаётся только $x=7$.

Случай 2: $A>0$. Тогда знак произведения определяется дробью: нужно $\dfrac{|x+2|-8}{17-|x+2|}\le0$. Меняем знак числителя и знаменателя одновременно (умножаем на $-1$, направление неравенства меняется на противоположное): $$\frac{|x+2|-8}{|x+2|-17}\ge0.$$

4. Решаем это неравенство методом интервалов, вводя $t=|x+2|\ge0$. $$\frac{t-8}{t-17}\ge0\;\Longleftrightarrow\;t\le8\ \text{или}\ t>17\ (t\ne17).$$ Возвращаемся к $x$:

• $|x+2|\le8\Rightarrow -10\le x\le6$;
• $|x+2|>17\Rightarrow x>15$ или $x<-19$.

5. Объединяем результаты обоих случаев, не забывая исключённую точку $x=15$ (уже нет в списке) и добавляя $x=7$ из первого случая: $$x\in(-\infty;-19)\cup[-10;6]\cup\{7\}\cup(15;+\infty).$$