Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Обозначим левую часть под модулем как $A = 2x^2 + \frac{19}{8}x - \frac{1}{8}$, а правую часть как $B = 3x^2 + \frac{1}{8}x - \frac{19}{8}$.

Шаг 1. По определению модуля неравенство $|A| \geq B$ равносильно совокупности двух неравенств: либо $A \geq B$ (когда $A \geq 0$), либо $-A \geq B$ (когда $A < 0$). Это стандартный приём раскрытия модуля через объединение случаев без разбора знака подмодульного выражения.

Шаг 2. Рассмотрим первый случай: $2x^2 + \frac{19}{8}x - \frac{1}{8} \geq 3x^2 + \frac{1}{8}x - \frac{19}{8}$. Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные: $$-x^2 + \frac{9}{4}x + \frac{9}{4} \geq 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2 - \frac{9}{4}x - \frac{9}{4} \leq 0.$$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - \frac{9}{4}x - \frac{9}{4} = (x-3)\left(x+\frac{3}{4}\right)$. Проверка раскрытием подтверждает совпадение. Получаем $(x-3)\left(x+\frac{3}{4}\right) \leq 0$, значит по методу интервалов $x \in \left[-\frac{3}{4}; 3\right]$.

Шаг 3. Второй случай: $-A \geq B$, то есть $-2x^2 - \frac{19}{8}x + \frac{1}{8} \geq 3x^2 + \frac{1}{8}x - \frac{19}{8}$. После переноса и приведения подобных: $$-5x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2} \geq 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \leq 0.$$ Разлагаем: $x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = (x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right)$. Неравенство $(x+1)\left(x-\frac{1}{2}\right) \leq 0$ даёт $x \in [-1; 0{,}5]$.

Шаг 4. Исходное неравенство верно, если выполняется хотя бы одно из двух условий, поэтому решение — объединение найденных промежутков: $$\left[-\frac{3}{4}; 3\right] \cup [-1; 0{,}5].$$ Так как $-1 < -\frac{3}{4}$ и $0{,}5 < 3$, эти промежутки перекрываются и вместе образуют один сплошной отрезок $[-1; 3]$.