Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Обозначим $A=x^2-\dfrac{29}{12}x-\dfrac{35}{12}$, $B=2x^2-\dfrac{61}{12}x-\dfrac{19}{12}$. Неравенство имеет вид $|A|\ge B$.

Для любых чисел верно тождество: $|A|\ge B \iff A\ge B \ \text{или}\ A\le -B$ (при $A\ge0$ модуль равен самому $A$, при $A<0$ — числу $-A$, поэтому оба случая объединяются именно так). Значит, исходное неравенство равносильно совокупности двух неравенств.

Первое неравенство: $A\ge B$: $$x^2-\tfrac{29}{12}x-\tfrac{35}{12}\ge 2x^2-\tfrac{61}{12}x-\tfrac{19}{12}.$$ Переносим всё влево и приводим подобные: $$-x^2+\tfrac{8}{3}x-\tfrac{4}{3}\ge0 \iff x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{4}{3}\le0.$$ Корни этого квадратного трёхчлена: $x=2$ и $x=\dfrac23$ (по формуле корней), поэтому $$(x-2)\left(x-\tfrac23\right)\le0 \iff x\in\left[\tfrac23;2\right].$$

Второе неравенство: $A\le -B$: $$x^2-\tfrac{29}{12}x-\tfrac{35}{12}\le -2x^2+\tfrac{61}{12}x+\tfrac{19}{12}.$$ Приводя подобные, получаем $$3x^2-\tfrac{15}{2}x-\tfrac{9}{2}\le0 \iff x^2-\tfrac{5}{2}x-\tfrac{3}{2}\le0.$$ Корни: $x=3$ и $x=-\dfrac12$, значит $$(x-3)\left(x+\tfrac12\right)\le0 \iff x\in\left[-\tfrac12;3\right].$$

Исходное неравенство выполняется, если верно хотя бы одно из полученных условий, то есть решение — объединение множеств $\left[\tfrac23;2\right]$ и $\left[-\tfrac12;3\right]$. Первое из них целиком лежит внутри второго, поэтому объединение совпадает с большим промежутком: $$x\in\left[-\tfrac12;3\right].$$